畢達(dá)哥拉斯及勾股定理

《畢達(dá)哥拉斯及勾股定理》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、畢達(dá)哥拉斯與勾股定理　　我們?cè)诔醵呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)勾股定理。在國(guó)外，尤其在西方，勾股定理通常被稱為畢達(dá)哥拉斯定理。這是由于，他們認(rèn)為最早發(fā)現(xiàn)直角三角形具有“”這一性質(zhì)并且最先給出嚴(yán)格證明的是古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，約公元前580～前500年）?！　?shí)際上，在更早期的人類活動(dòng)中，人們就已經(jīng)認(rèn)識(shí)到這一定理的某些特例。除我國(guó)在公元前1000多年前發(fā)現(xiàn)勾股定理外，據(jù)說(shuō)古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法則來(lái)確定直角。但是，這一傳說(shuō)引起過(guò)許多數(shù)學(xué)史家的懷疑。比如說(shuō)，美國(guó)的數(shù)學(xué)史家M·克萊因教授曾經(jīng)指出：“我們也不知道

2、埃及人是否認(rèn)識(shí)到畢達(dá)哥拉斯定理。我們知道他們有拉繩人（測(cè)量員），但所傳他們?cè)诶K上打結(jié)，把全長(zhǎng)分成長(zhǎng)度為3、4、5的三段，然后用來(lái)形成直角三角形之說(shuō)，則從未在任何文件上得證實(shí)?！辈贿^(guò)，考古學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了幾塊大約完成于公元前2000年左右的古巴比倫的泥板書，據(jù)專家們考證，其中一塊上面刻有如下問(wèn)題：“一根長(zhǎng)度為30個(gè)單位的棍子直立在墻上，當(dāng)其上端滑下6個(gè)單位時(shí)，請(qǐng)問(wèn)其下端離開墻角有多遠(yuǎn)？”這是一個(gè)三邊為為3:4:5三角形的特殊例子；專家們還發(fā)現(xiàn)，在另一塊泥板上面刻著一個(gè)奇特的數(shù)表，表中共刻有四列十五行數(shù)字，這是一個(gè)勾股數(shù)表：最右邊一

3、列為從1到15的序號(hào)，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數(shù)值，一共記載著15組勾股數(shù)。這說(shuō)明，勾股定理實(shí)際上早已進(jìn)入了人類知識(shí)的寶庫(kù)?！　o(wú)論是古埃及人、古巴比倫人還是我們中國(guó)人誰(shuí)最先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，我們的先人在不同的時(shí)期、不同的地點(diǎn)發(fā)現(xiàn)的這同一性質(zhì)，顯然不僅僅是哪一個(gè)民族的私有財(cái)產(chǎn)而是我們?nèi)祟惖墓餐?cái)富。值得一提的是：在發(fā)現(xiàn)這一共同性質(zhì)后的收獲卻是不完全相同的。下面以“畢達(dá)哥拉斯定理”和“勾股定理”為例，做一簡(jiǎn)單介紹：　　一、畢達(dá)哥拉期定理　　畢達(dá)哥拉斯是一個(gè)古希臘人的名宇。生于公元前6世紀(jì)的畢達(dá)哥拉斯，早年曾游歷埃及、巴比

4、倫（另一種說(shuō)法是到過(guò)印度）等地，后來(lái)移居意大利半島南部的克羅托內(nèi)，并在那里組織了一個(gè)集政治、宗教、數(shù)學(xué)于一體的秘密團(tuán)體──畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，這個(gè)學(xué)派非常重視數(shù)學(xué)，企圖用數(shù)來(lái)解釋一切。他們宣稱，數(shù)是宇宙萬(wàn)物的本原，研究數(shù)學(xué)的目的并不在于實(shí)用，而是為了探索自然的奧秘。他們對(duì)數(shù)學(xué)看法的一個(gè)重大貢獻(xiàn)是有意識(shí)地承認(rèn)并強(qiáng)調(diào)；數(shù)學(xué)上的東西如數(shù)和圖形是思維的抽象，同實(shí)際事物或?qū)嶋H形象是截然不同的。有些原始文明社會(huì)中的人（如埃及人和巴比倫人）也知道把數(shù)脫離實(shí)物來(lái)思考，但他們對(duì)這種思考的抽象性質(zhì)所達(dá)到的自覺認(rèn)識(shí)程度，與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派相比，是有相當(dāng)

5、差距的。而且在希臘人之前，幾何思想是離不開實(shí)物的。例如，埃及人認(rèn)為，直線就是拉緊的繩或田地的一條邊；而矩形則是田地的邊界。這個(gè)學(xué)派還有一個(gè)特點(diǎn)，就是將算術(shù)和幾何緊密聯(lián)系起來(lái)?！　≌?yàn)槿绱耍呥_(dá)哥拉斯學(xué)派在他們的探索中，發(fā)現(xiàn)了既屬于算術(shù)又屬于幾何的用三個(gè)整數(shù)表示直角三角形邊長(zhǎng)的公式：若2n+1,分別是兩直角邊，則斜邊是（不過(guò)這法則并不能把所有的整勾股數(shù)組表示出來(lái)）。也正是由于上述原因，這個(gè)學(xué)派通過(guò)對(duì)整勾股數(shù)的尋找和研究，發(fā)現(xiàn)了所謂的“不可通約量”──例如，等腰直角三角形斜邊與一直角邊之比即正方形對(duì)角線與其一邊之比不能用整數(shù)之

6、比表達(dá)。為此，他們把那些能用整數(shù)之比表達(dá)的比稱做“可公度比”，意即相比兩量可用公共度量單位量盡，而把不能這樣表達(dá)的比稱做“不可公度比”。像我們今日寫成：l的比便是不可公度比。至于與1不能公度的證明也是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派給出的。這個(gè)證明指出：若設(shè)等腰直角三角形斜邊能與一直角邊公度，那么，同一個(gè)數(shù)將既是奇數(shù)又是偶數(shù)。證明過(guò)程如下：設(shè)等腰直角三角形斜邊與一直角邊之比為α：β，并設(shè)這個(gè)比已表達(dá)成最小整數(shù)之比。根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，有。由于為偶數(shù)即為偶數(shù)，所以α必然也是偶數(shù)，因?yàn)槿我黄鏀?shù)的平方必是奇數(shù)（任一奇數(shù)可表示為2n+1，于是，這仍是

7、一個(gè)奇數(shù)。但是α：β是既約的，因此，β必然不是偶數(shù)而是奇數(shù)，α既然是偶數(shù)，故可設(shè)α=2γ。于是。因此，，這里，是個(gè)偶數(shù)，于是β也是偶數(shù)，但是β同時(shí)又是個(gè)奇數(shù)，這就產(chǎn)生了矛盾。關(guān)于對(duì)畢達(dá)哥拉斯定理的證明，現(xiàn)在人類保存下來(lái)的最早的文字資料是歐幾里得（公元前300年左右）所著的《幾何原本》第一卷中的命題47：“直角三角形斜邊上的正方形等于兩直角邊上的兩個(gè)正方形之和”。其證明是用面積來(lái)進(jìn)行的。如下圖，可證圖1　△ABD≌△FBC，　　　矩形BL=2△ABD，　　　正方形GB=2△凸FBC?！　∮谑蔷匦蜝L=正方形GB?！　⊥瑯佑芯匦?/p>

8、CL=正方形AK。　　所以正方形GB+正方形AK=正方形BE?！　‘呥_(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)勾股定理的研究及其收獲由此可見一般。實(shí)際上，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派關(guān)心得更多的是數(shù)學(xué)問(wèn)題本身的研究；以畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為代表的古希臘數(shù)學(xué)是以空間形式為主要研究對(duì)象，以邏輯上的演繹推理為主要的理論形式。而畢達(dá)哥拉斯定理的