實驗二微分方程和差分方程模型matlab求解

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1、word資料下載可編輯實驗二:微分方程與差分方程模型Matlab求解一、實驗目的[1]掌握解析、數值解法,并學會用圖形觀察解的形態(tài)和進行解的定性分析;[2]熟悉MATLAB軟件關于微分方程求解的各種命令;[3]通過范例學習建立微分方程方面的數學模型以及求解全過程;[4]熟悉離散Logistic模型的求解與混沌的產生過程。二、實驗原理1.微分方程模型與MATLAB求解解析解用MATLAB命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,...)求常微分方程(組)的解析解。其中‘eqni'表示第i個微分方程,Dny表示

2、y的n階導數,默認的自變量為t。(1)微分方程例1求解一階微分方程???(1)求通解輸入:dsolve('Dy=1+y^2')輸出:ans=tan(t+C1)(2)求特解輸入:dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值為1,自變量為x輸出:ans=tan(x+1/4*pi)專業(yè)技術資料word資料下載可編輯例2求解二階微分方程原方程兩邊都除以,得輸入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x

3、')ans=-(exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2)+(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))試試能不用用simplify函數化簡輸入:simplify(ans)ans=2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x)?(2)微分方程組例3求解????df/dx=3f+4g;?dg/dx=-4f+3g。(1)通解:??[f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g')f=exp

4、(3*t)*(C1*sin(4*t)+C2*cos(4*t))g=exp(3*t)*(C1*cos(4*t)-C2*sin(4*t))特解:[f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g','f(0)=0,g(0)=1')f=exp(3*t)*sin(4*t)g=exp(3*t)*cos(4*t)專業(yè)技術資料word資料下載可編輯數值解在微分方程(組)難以獲得解析解的情況下,可以用Matlab方便地求出數值解。格式為:[t,y]=ode23('F',ts,y0,options)注意

5、:?微分方程的形式:y'=F(t,y),t為自變量,y為因變量(可以是多個,如微分方程組);?[t,y]為輸出矩陣,分別表示自變量和因變量的取值;?F代表一階微分方程組的函數名(m文件,必須返回一個列向量,每個元素對應每個方程的右端);?ts的取法有幾種,(1)ts=[t0,tf]表示自變量的取值范圍,(2)ts=[t0,t1,t2,…,tf],則輸出在指定時刻t0,t1,t2,…,tf處給出,(3)ts=t0:k:tf,則輸出在區(qū)間[t0,tf]的等分點給出;?y0為初值條件;?options用于設定誤差限(

6、缺省是設定相對誤差是10^(-3),絕對誤差是10^(-6));ode23是微分方程組數值解的低階方法,ode45為中階方法,與ode23類似。例4求解一個經典的范得波(VanDerpol)微分方程:解形式轉化:令。則以上方程轉化一階微分方程組:。編寫M文件如下,必須是M文件表示微分方程組,并保存,一般地,M文件的名字與函數名相同,保存位置可以為默認的work子目錄,也可以保存在自定義文件夾,這時注意要增加搜索路徑(FileSetPathAddFolder)???function?dot1=vdpol(t,

7、y);???dot1=[y(2);(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];在命令窗口寫如下命令:[t,y]=ode23('vdpol',[0,20],[1,0]);y1=y(:,1);y2=y(:,2);專業(yè)技術資料word資料下載可編輯plot(t,y1,t,y2,'--');title('VanDerPolSolution');xlabel('Time,Second');ylabel('y(1)andy(2)')執(zhí)行:注:VanderPol方程描述具有一個非線性振動項的振動子的運動過程。最初,由于它在非

8、線性電路上的應用而引起廣泛興趣。一般形式為。圖形解無論是解析解還是數值解,都不如圖形解直觀明了。即使是在得到了解析解或數值解的情況下,作出解的圖形,仍然是一件深受歡迎的事。這些都可以用Matlab方便地進行。(1)圖示解析解如果微分方程(組)的解析解為:y=f(x),則可以用Matlab函數fplot作出其圖形:fplot('fun',lims)其中:fun給出函數表達式;lims=[

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