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1、貝塞爾曲面的拼接研究2012年1月Bezier曲線的連接及Bezier曲面的拼接摘要根據(jù)線動成面的思想由Bezier曲面的概念引入Bezier曲面的概念，Bezier實際上是先由控制頂點生成一個方向（設(shè)為v方向）上的Bezier曲線，然后在已竟形成的Bezier曲線上尋找控制頂點，生成另一個方向（設(shè)為u方向）上的Bezier曲線，形成控制網(wǎng)格，Bezier曲面是對該控制網(wǎng)格的逼近。同樣，類似于Bezier曲線的性質(zhì)介紹了Bezier曲面的端點性質(zhì)、邊界線位置、凸包性等比較常見的幾個性質(zhì)。幾何設(shè)計
2、中，一條Bezier曲線往往難以描述復(fù)雜的曲線形狀。這是由于增加特征多邊形的頂點數(shù)，會引起B(yǎng)ezier曲線次數(shù)的提高，而高次多項式又會帶來計算上的困難，實際使用中，一般不超過10次。所以有時采用分段設(shè)計，然后將各段曲線相互連接起來。同樣的，復(fù)雜的曲面用Bezier曲面相互拼接起來實現(xiàn)。根據(jù)光滑連續(xù)性的條件考慮連接處的光滑，從而實現(xiàn)Bezier曲線的光滑連接以及Bezier曲面的拼接。關(guān)鍵詞：光順連續(xù)性、Bezier曲線的連接、Bezier曲面的拼接、服裝仿真1引言在虛擬現(xiàn)實和視景仿真應(yīng)用中，天空
3、仿真是必不可少的內(nèi)容。無論是地面還是空中、海上的視景仿真，天空背景的真實感對用戶來說能大大提高視覺享受和沉浸感。但是就目前來看，大部分軟件和仿真平臺對真實天空的模擬還都不太盡人意，例如著名的VEGA仿真平臺，不同氣候條件下的天空僅僅是在不同顏色背景下幾層貼上云紋理的平面，從地面上看去，云層明顯的有一條水平的終結(jié)線。而一旦進(jìn)入這些云層，就更加明顯的感到是穿過了幾層毫無體積感的紋理平面。在現(xiàn)實生活中，人們對天空是再熟悉不過了。真實的天空是非常復(fù)雜的，從視覺角度分析，就有霞、霧、暈、晴、陰等等各種自然
4、現(xiàn)象，而且整個天球在空間上也不是均勻體現(xiàn)某種顏色的，而是隨著每天時間和天氣狀況的不同，有著千變?nèi)f化的變化。所以要完全仿真真實的天空，不僅要有圖形學(xué)方面的知識，還要具備天文和大氣物理學(xué)的知識，由于我們對這些知識不甚了了，只能對天空的仿真進(jìn)行簡化。但經(jīng)過我們的改進(jìn)，與以上所提及的天空仿真來相比，達(dá)到了一定的真實感增強。Bezier曲面是由Bezier曲線交織而成的曲面，一個復(fù)雜的曲面往往不能用單一的Bezier曲面來實現(xiàn)，要用幾塊Bezier曲面拼接起來。下面介紹的就是如何將Bezier曲線光滑連接
5、起來以及如何將Bezier曲面拼接起來。2基本理論光順：通俗含義指曲線的拐點不能太多，曲線拐來拐去，就會不順眼，對平面曲線而言，相對光順的條件是：a）具有二階幾何連續(xù)性(G2)；b）不存在多余拐點和奇異點；c）曲率變化較小。連續(xù)性：設(shè)計一條復(fù)雜曲線時，常常通過多段曲線組合而成，這需要解決曲線段之間如何實現(xiàn)光滑連接的問題，即為連續(xù)性問題。曲線間連接的光滑度的度量有兩種：一種是函數(shù)的可微性，把組合參數(shù)曲線構(gòu)造成在連接處具有直到n階連續(xù)導(dǎo)矢，即n階連續(xù)可微，這類光滑度稱之為Cn或n階參數(shù)連續(xù)性。另一種
6、稱為幾何連續(xù)性，組合曲線在連接處滿足不同于Cn的某一組約束條件，稱為具有n階幾何連續(xù)性，簡記為Gn。曲線光滑度的兩種度量方法并不矛盾，Cn連續(xù)包含在Gn連續(xù)之中。圖1圖2圖3對于上圖所示二條曲線P(t)和Q(t)，參數(shù)，若要求在結(jié)合處達(dá)到G0連續(xù)或C0連續(xù)，即兩曲線在結(jié)合處位置連續(xù)：P(1)=Q(0)。若要求在結(jié)合處達(dá)到G1連續(xù)，就是說兩條曲線在結(jié)合處在滿足G0連續(xù)的條件下，并有公共的切矢：（1）當(dāng)時，G1連續(xù)就成為C1連續(xù)。若要求在結(jié)合處達(dá)到G2連續(xù)，就是說兩條曲線在結(jié)合處在滿足G1連續(xù)的條件
7、下，并有公共的曲率矢：（2）代入(1－1)得：這個關(guān)系為：(3)即Q”(0)在P”(1)和P’(1)確定的平面內(nèi)。為任意常數(shù)。當(dāng)，時，G2連續(xù)就成為C2連續(xù)。在弧長作參數(shù)的情況下，C1連續(xù)保證G2連續(xù)，C1連續(xù)能保證G2連續(xù)，但反過來不行。也就是說Cn連續(xù)的條件比Gn連續(xù)的條件要苛刻。3Bezier曲線的連接幾何設(shè)計中，一條Bezier曲線往往難以描述復(fù)雜的曲線形狀。這是由于增加由于特征多邊形的頂點數(shù)，會引起B(yǎng)ezier曲線次數(shù)的提高，而高次多項式又會帶來計算上的困難，實際使用中，一般不超過10
8、次。所以有時采用分段設(shè)計，然后將各段曲線相互連接起來，并在接合處保持一定的連續(xù)條件。下面討論兩段Bezier曲線達(dá)到不同階幾何連續(xù)的條件。給定兩條Bezier曲線P(t)和Q(t)，相應(yīng)控制點為Pi(i=0,1,...,n)和Qj(j=0,1,...,m)，且令，如圖所示，我們現(xiàn)在把兩條曲線連接起來。（1）G0連續(xù)的充要條件是：Pn=Q0；（2）G1連續(xù)的充要條件是：Pn-1，Pn=Q，Q1三點共線，即（3）G2連續(xù)的充要條件是：在G1連續(xù)的條件下，并滿足方程（4）圖4我們將、和，、代入，并整理
