貝塞爾函數(shù)及其應(yīng)用

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1、題目：貝塞爾函數(shù)及其應(yīng)用摘要貝塞爾方程是在柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)下使用分離變量法求解拉普拉斯方程時(shí)得到的，因此它在波動(dòng)問題以及各種涉及有勢場的問題的研究中占有非常重要的地位。貝塞爾函數(shù)是貝塞爾方程的解。它在物理和工程中，有著十分廣泛的應(yīng)用。本文首先通過一個(gè)物理問題引入貝塞爾方程，并求出貝塞爾方程的解，即貝塞爾函數(shù)。其次列出了貝塞爾函數(shù)的幾個(gè)重要的結(jié)論，如遞推公式，零點(diǎn)性質(zhì)等，并對他們進(jìn)行了深入的分析。第二部分主要介紹了傅里葉-貝塞爾級數(shù)，通過matlab編程對函數(shù)按傅里葉-貝塞爾級數(shù)展開之后的圖像進(jìn)行分析，得到了它們的

2、逼近情況。最后一部分介紹了貝塞爾函數(shù)的幾個(gè)重要應(yīng)用，一個(gè)是在物理光學(xué)中的應(yīng)用，著重分析了貝塞爾函數(shù)近似公式的誤差；一個(gè)是在信號處理中調(diào)頻制的應(yīng)用，得到了特殊情況下的公式算法。關(guān)鍵詞：貝塞爾函數(shù)，傅里葉-貝塞爾級數(shù)，漸近公式目錄一、起源1（一）貝塞爾函數(shù)的提出1（二）貝塞爾方程的引出1二、貝塞爾函數(shù)的基本概念4（一）貝塞爾函數(shù)的定義41.第一類貝塞爾函數(shù)52.第二類貝塞爾函數(shù)73.第三類貝塞爾函數(shù)104.虛宗量的貝塞爾函數(shù)10（二）貝塞爾函數(shù)的遞推公式11（三）半奇數(shù)階貝塞爾函數(shù)13（四）貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)14（五

3、）貝塞爾函數(shù)的振蕩特性16三、Fourier-Bessel級數(shù)16（一）傅里葉-貝塞爾級數(shù)的定義16（二）將函數(shù)按傅里葉-貝塞爾級數(shù)展開17四、貝塞爾函數(shù)的應(yīng)用24（一）貝塞爾函數(shù)在光學(xué)中的應(yīng)用24（二）貝塞爾函數(shù)在調(diào)頻制中的應(yīng)用26附錄30一、起源（一）貝塞爾函數(shù)的提出隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用更為廣泛。在許多科技領(lǐng)域中，微積分及常微分方程已經(jīng)不能夠滿足我們的需要，數(shù)學(xué)物理方程理論已經(jīng)成為必須掌握的數(shù)學(xué)工具。它們反映了未知函數(shù)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)之間的制約關(guān)系，同時(shí)刻畫了物理現(xiàn)象和過程的基本

4、規(guī)律。它的重要性，早在18世紀(jì)初就被人們認(rèn)識。在1715年，泰勒將弦線的橫向振動(dòng)問題歸結(jié)為著名的弦振動(dòng)方程。以后，伯努利從弦發(fā)出聲音的事實(shí)，得出該方程的三角級數(shù)解。在此基礎(chǔ)上，傅里葉在理論上完成了解此方程的方法。同時(shí)歐拉和拉格朗日在研究流體力學(xué)、拉普拉斯在研究勢函數(shù)、傅里葉在研究熱傳導(dǎo)等物理問題中，導(dǎo)出了一系列重要的數(shù)學(xué)物理方程及其求解方法，取得了重要的成就。而這其中，18世紀(jì)中葉由瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾·伯努利在研究懸鏈振動(dòng)時(shí)提出的貝塞爾函數(shù)的幾個(gè)正數(shù)階特例引起了數(shù)學(xué)界得興趣。丹尼爾的叔叔雅各布·伯努利，歐拉、拉格

5、朗日等數(shù)學(xué)大師對貝塞爾函數(shù)的研究作出過重要貢獻(xiàn)。1817年，德國數(shù)學(xué)家貝塞爾在研究開普勒提出的三體引力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，第一次系統(tǒng)地提出了貝塞爾函數(shù)的總體理論框架，后人以他的名字來命名了這種函數(shù)?。貝塞爾函數(shù)是一類特殊函數(shù)的總稱，貝塞爾方程是在圓柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)下使用分離變量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程時(shí)得到的（在圓柱域問題中得到的是整階形式；在球形域問題中得到的是半奇數(shù)階形式，因此貝塞爾函數(shù)在波動(dòng)問題以及各種涉及有勢場的問題中占有非常重要的地位，其中最典型的問題有：在圓柱形波導(dǎo)中的電磁波傳播問題；圓柱體中的

6、熱傳導(dǎo)問題；圓形（或環(huán)形）薄膜的振動(dòng)模態(tài)分析問題等。（二）貝塞爾方程的引出有圓形薄盤，上下兩面絕熱，圓盤邊界上的溫度始終保持為0，且初始溫度分布已知，求圓盤內(nèi)的瞬時(shí)溫度分布規(guī)律。設(shè)圓形薄盤的半徑為R，這個(gè)問題可以歸結(jié)為求解下列問題：32應(yīng)用分離變量法求這個(gè)問題的解，為此令為第一個(gè)方程的非零解，代入該方程得化簡并引入?yún)?shù)得由此我們得到下面關(guān)于函數(shù)T（t）和V(x,y)的方程,(1-1),(1-2)由式(1-1)得方程(1-2)稱為Helmholtz方程，為了求出這個(gè)方程滿足邊界條件的非零解，我們采用平面上的極坐標(biāo)

7、系，則該定解問題轉(zhuǎn)化為(1-3).(1-4)再令，代入方程(1-3)得,引入?yún)?shù),于是有32,(1-5).(1-6)由于溫度函數(shù)是單值的，所以也必是單值函數(shù)，而與在極坐標(biāo)系表示同一點(diǎn)，因此應(yīng)該是以2為周期的函數(shù)，即，這就決定了，由此該方程(1-5)的解為，(為常數(shù))，，將代入方程(1-6),得,這個(gè)方程稱為n階貝塞爾方程。由式(1-4)得.由于圓盤上的溫度是有限的，特別在圓心處也應(yīng)如此，于是，因此原定解問題的最后解決歸結(jié)為求解下列問題：的特征值與特征函數(shù)。若令,并記，則得.(1-7)上式是貝塞爾方程最常見的形式

8、，它是一個(gè)具有變系數(shù)的二階線性常微分方程，它的解稱為貝塞爾函數(shù)。32一、貝塞爾函數(shù)的基本概念（一）貝塞爾函數(shù)的定義定義滿足本征方程(2-1)的函數(shù)為貝塞爾函數(shù)，為貝塞爾函數(shù)的階。本征方程也可以表述為在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中解波動(dòng)方程，用分離變量法都可得到徑向函數(shù)滿足的微分方程正好就是貝塞爾方程.圓柱波徑向方程球波徑向方程令上式可寫成這是半奇數(shù)階的貝塞爾方程。方程(2-1)是在解決圓盤上