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1、題目：貝塞爾函數及其應用摘要貝塞爾方程是在柱坐標或球坐標下使用分離變量法求解拉普拉斯方程時得到的，因此它在波動問題以及各種涉及有勢場的問題的研究中占有非常重要的地位。貝塞爾函數是貝塞爾方程的解。它在物理和工程中，有著十分廣泛的應用。本文首先通過一個物理問題引入貝塞爾方程，并求出貝塞爾方程的解，即貝塞爾函數。其次列出了貝塞爾函數的幾個重要的結論，如遞推公式，零點性質等，并對他們進行了深入的分析。第二部分主要介紹了傅里葉-貝塞爾級數，通過matlab編程對函數按傅里葉-貝塞爾級數展開之后的圖像進行分析，得到了它們的
2、逼近情況。最后一部分介紹了貝塞爾函數的幾個重要應用，一個是在物理光學中的應用，著重分析了貝塞爾函數近似公式的誤差；一個是在信號處理中調頻制的應用，得到了特殊情況下的公式算法。關鍵詞：貝塞爾函數，傅里葉-貝塞爾級數，漸近公式目錄一、起源1（一）貝塞爾函數的提出1（二）貝塞爾方程的引出1二、貝塞爾函數的基本概念4（一）貝塞爾函數的定義41.第一類貝塞爾函數52.第二類貝塞爾函數73.第三類貝塞爾函數104.虛宗量的貝塞爾函數10（二）貝塞爾函數的遞推公式11（三）半奇數階貝塞爾函數13（四）貝塞爾函數的零點14（五
3、）貝塞爾函數的振蕩特性16三、Fourier-Bessel級數16（一）傅里葉-貝塞爾級數的定義16（二）將函數按傅里葉-貝塞爾級數展開17四、貝塞爾函數的應用24（一）貝塞爾函數在光學中的應用24（二）貝塞爾函數在調頻制中的應用26附錄30一、起源（一）貝塞爾函數的提出隨著科學技術的發(fā)展，數學的應用更為廣泛。在許多科技領域中，微積分及常微分方程已經不能夠滿足我們的需要，數學物理方程理論已經成為必須掌握的數學工具。它們反映了未知函數關于時間的導數和關于空間變量的導數之間的制約關系，同時刻畫了物理現象和過程的基本
4、規(guī)律。它的重要性，早在18世紀初就被人們認識。在1715年，泰勒將弦線的橫向振動問題歸結為著名的弦振動方程。以后，伯努利從弦發(fā)出聲音的事實，得出該方程的三角級數解。在此基礎上，傅里葉在理論上完成了解此方程的方法。同時歐拉和拉格朗日在研究流體力學、拉普拉斯在研究勢函數、傅里葉在研究熱傳導等物理問題中，導出了一系列重要的數學物理方程及其求解方法，取得了重要的成就。而這其中，18世紀中葉由瑞士數學家丹尼爾·伯努利在研究懸鏈振動時提出的貝塞爾函數的幾個正數階特例引起了數學界得興趣。丹尼爾的叔叔雅各布·伯努利，歐拉、拉格
5、朗日等數學大師對貝塞爾函數的研究作出過重要貢獻。1817年，德國數學家貝塞爾在研究開普勒提出的三體引力系統(tǒng)的運動問題時，第一次系統(tǒng)地提出了貝塞爾函數的總體理論框架，后人以他的名字來命名了這種函數?。貝塞爾函數是一類特殊函數的總稱，貝塞爾方程是在圓柱坐標或球坐標下使用分離變量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程時得到的（在圓柱域問題中得到的是整階形式；在球形域問題中得到的是半奇數階形式，因此貝塞爾函數在波動問題以及各種涉及有勢場的問題中占有非常重要的地位，其中最典型的問題有：在圓柱形波導中的電磁波傳播問題；圓柱體中的
6、熱傳導問題；圓形（或環(huán)形）薄膜的振動模態(tài)分析問題等。（二）貝塞爾方程的引出有圓形薄盤，上下兩面絕熱，圓盤邊界上的溫度始終保持為0，且初始溫度分布已知，求圓盤內的瞬時溫度分布規(guī)律。設圓形薄盤的半徑為R，這個問題可以歸結為求解下列問題：32應用分離變量法求這個問題的解，為此令為第一個方程的非零解，代入該方程得化簡并引入參數得由此我們得到下面關于函數T（t）和V(x,y)的方程,(1-1),(1-2)由式(1-1)得方程(1-2)稱為Helmholtz方程，為了求出這個方程滿足邊界條件的非零解，我們采用平面上的極坐標
7、系，則該定解問題轉化為(1-3).(1-4)再令，代入方程(1-3)得,引入參數,于是有32,(1-5).(1-6)由于溫度函數是單值的，所以也必是單值函數，而與在極坐標系表示同一點，因此應該是以2為周期的函數，即，這就決定了，由此該方程(1-5)的解為，(為常數)，，將代入方程(1-6),得,這個方程稱為n階貝塞爾方程。由式(1-4)得.由于圓盤上的溫度是有限的，特別在圓心處也應如此，于是，因此原定解問題的最后解決歸結為求解下列問題：的特征值與特征函數。若令,并記，則得.(1-7)上式是貝塞爾方程最常見的形式
8、，它是一個具有變系數的二階線性常微分方程，它的解稱為貝塞爾函數。32一、貝塞爾函數的基本概念（一）貝塞爾函數的定義定義滿足本征方程(2-1)的函數為貝塞爾函數，為貝塞爾函數的階。本征方程也可以表述為在圓柱坐標系和球坐標系中解波動方程，用分離變量法都可得到徑向函數滿足的微分方程正好就是貝塞爾方程.圓柱波徑向方程球波徑向方程令上式可寫成這是半奇數階的貝塞爾方程。方程(2-1)是在解決圓盤上
