定積分計(jì)算公式和性質(zhì)

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1、專業(yè)分享第二節(jié)定積分計(jì)算公式和性質(zhì)一、變上限函數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并且設(shè)x為上的任一點(diǎn)，于是，在區(qū)間上的定積分為這里x既是積分上限，又是積分變量，由于定積分與積分變量無關(guān)，故可將此改為如果上限x在區(qū)間上任意變動，則對于每一個(gè)取定的x值，定積分有一個(gè)確定值與之對應(yīng)，所以定積分在上定義了一個(gè)以x為自變量的函數(shù)，我們把稱為函數(shù)在區(qū)間上變上限函數(shù)記為圖5-10從幾何上看，也很顯然。因?yàn)閄是上一個(gè)動點(diǎn)，從而以線段為底的曲邊梯形的面積，必然隨著底數(shù)端點(diǎn)的變化而變化，所以陰影部分的面積是端點(diǎn)x的函數(shù)（見圖5-10）定積分計(jì)算公式利用定義計(jì)算定積分的值是十分麻煩的，有時(shí)甚

2、至無法計(jì)算。因此，必須尋求計(jì)算定積分的簡便方法。我們知道：如果物體以速度作直線運(yùn)動，那么在時(shí)間區(qū)間上所經(jīng)過的路程s為圖5-11Word可編輯資料專業(yè)分享另一方面，如果物體經(jīng)過的路程s是時(shí)間t的函數(shù)，那么物體從t=a到t=b所經(jīng)過的路程應(yīng)該是（見圖5-11）即由導(dǎo)數(shù)的物理意義可知：即是一個(gè)原函數(shù)，因此，為了求出定積分，應(yīng)先求出被積函數(shù)的原函數(shù)，再求在區(qū)間上的增量即可。如果拋開上面物理意義，便可得出計(jì)算定積分的一般方法：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是的一個(gè)原函數(shù)，即，則這個(gè)公式叫做牛頓-萊布尼茲公式。為了使用方便，將公式寫成牛頓-萊布尼茲公式通常也叫做微積分基本公式。

3、它表示一個(gè)函數(shù)定積分等于這個(gè)函數(shù)的原函數(shù)在積分上、下限處函數(shù)值之差。它揭示了定積分和不定積分的內(nèi)在聯(lián)系，提供了計(jì)算定積分有效而簡便的方法，從而使定積分得到了廣泛的應(yīng)用。例1計(jì)算因?yàn)槭堑囊粋€(gè)原函數(shù)所以例2求曲線和直線x=0、x=及y=0Word可編輯資料專業(yè)分享所圍成圖形面積A(5-12)解這個(gè)圖形的面積為圖5-12二、定積分的性質(zhì)設(shè)、在相應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，利用前面學(xué)過的知識，可以得到定積分以下幾個(gè)簡單性質(zhì)：性質(zhì)1被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到定積分符號前面，即(A為常數(shù))性質(zhì)2函數(shù)的代數(shù)和的定積分等于它們的定積分的代數(shù)和，即這個(gè)性質(zhì)對有限個(gè)函數(shù)代數(shù)和也成立。性質(zhì)3積

4、分的上、下限對換則定積分變號，即以上性質(zhì)用定積分的定義及牛頓-萊布尼茲公式均可證明，此處證明從略。性質(zhì)4如果將區(qū)間分成兩個(gè)子區(qū)間及那么有這個(gè)于區(qū)間分成有限個(gè)的情形也成立。下面用定積分的幾何意義，對性質(zhì)4加以說明。當(dāng)a

5、所以===例8火車以v=72km/h的速度在平直的軌道上行駛，到某處需要減速停車。設(shè)火車以加速度a=-5m/剎車。問從開始剎車到停車，火車走了多少距離？解首先要算出從開始剎車到停車經(jīng)過時(shí)間。當(dāng)時(shí)火車速度Word可編輯資料專業(yè)分享剎車后火車減速行駛。其速度為當(dāng)火車停住時(shí)，速度，故從解得于是在這段時(shí)間內(nèi)，火車走過的距離為=即在剎車后，火車需走過40m才能停住。習(xí)題5-21求下列定積分：（1）(2)(3)(4)(5)（6）(7)(8)(9)(10)(11)設(shè)2.求由與直線x=1,x=2及x軸所成的圖形的面積。Word可編輯資料