定積分的概念和性質(zhì)(

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1、第五章定積分Chapter5DefiniteIntegrals5.1定積分的概念和性質(zhì)（ConceptofDefiniteIntegralanditsProperties）一、定積分問題舉例（ExamplesofDefiniteIntegral）設(shè)在區(qū)間上非負、連續(xù)，由，，以及曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形，其中曲線弧稱為曲邊。Letbecontinuousandnonnegativeontheclosedinterval.Thentheregionboundedbythegraphof,the-axis,theverticallines,andiscall

2、edthetrapezoidwithcurvededge.黎曼和的定義（DefinitionofRiemannSum）設(shè)是定義在閉區(qū)間上的函數(shù)，是的任意一個分割，，其中是第個小區(qū)間的長度，是第個小區(qū)間的任意一點，那么和，稱為黎曼和。Letbedefinedontheclosedinterval,andletbeanarbitrarypartitionof,,whereisthewidthofthethsubinterval.Ifisanypointinthethsubinterval,thenthesum，,IscalledaRiemannsumforth

3、epartition.二、定積分的定義（DefinitionofDefiniteIntegral）定義定積分（DefiniteIntegral）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，在中任意插入若干個分點，把區(qū)間分成個小區(qū)間：各個小區(qū)間的長度依次為，，…，。在每個小區(qū)間上任取一點，作函數(shù)與小區(qū)間長度的乘積（），并作出和。記，如果不論對怎樣分法，也不論在小區(qū)間上點怎樣取法，只要當(dāng)時，和總趨于確定的極限，這時我們稱這個極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分（簡稱積分），記作，即==,其中叫做被積函數(shù)，叫做被積表達式，叫做積分變量，叫做積分下限，叫做積分上限，叫做積分區(qū)間。Letbeafun

4、ctionthatisdefinedontheclosedinterval.Considerapartitionoftheintervalintosubinterval(notnecessarilyofequallength)bymeansofpointsandlet.Oneachsubinterval,pickanarbitrarypoint(whichmaybeanendpoint);wecallitasamplepointfortheithsubinterval.WecallthesumaRiemannsumforcorrespondingtothe

5、partition.Ifexists,wesayisintegrableon,where.Moreover,,calleddefiniteintegral(orRiemannIntegral)offromto,isgivenby=.Theequality=meansthat,correspondingtoeach>0,thereisasuchthat

6、tofintegral,theupperlimitofintegral,andtheintegralinterval.定理1可積性定理（IntegrabilityTheorem）設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，則在上可積。Theorem1Ifafunctioniscontinuousontheclosedinterval,itisintegrableon.定理2可積性定理（IntegrabilityTheorem）設(shè)在區(qū)間上有界，且只有有限個間斷點，則在區(qū)間上可積。Theorem2Ifisboundedonandifitiscontinuousthereexceptata

7、finitenumberofpoints,thenisintegrableon.三．定積分的性質(zhì)（PropertiesofDefiniteIntegrals）兩個特殊的定積分（1）如果在點有意義，則；（2）如果在上可積，則。TwoSpecialDefiniteIntegrals(1)Ifisdefinedat.Then.(2)Ifisintegrableon.Then.定積分的線性性（LinearityoftheDefiniteIntegral）設(shè)函數(shù)和在上都可積，是常數(shù)，則和+都可積，并且（1）=;(2)=+;andconsequently,(3)=-.

8、Supposethatandareintegrableonandi