3、積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和符號(hào)讀作函數(shù)f(x)從a到b的定積分.關(guān)于定積分定義的幾點(diǎn)說明：(1)所謂和式極限(即函數(shù)f(x)可積)，是指無論對區(qū)間[a,b]怎樣分法，也不論對點(diǎn)xi(i=1,2,···,n)怎樣取法，極限都存在且有相同的極限值.(2)可以證明，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)是可積的.(3)因?yàn)槎ǚe分是和式極限，它是由函數(shù)f(x)與區(qū)間[a,b]所確定的，因此，它與積分變量的記號(hào)無關(guān)，即(4)該定義是在積分下限a小于積分上限b的情況下給出的，此時(shí)，只要把插入分點(diǎn)的順序反過來寫a=x0
4、>x1>x2>···>xi-1>xi>···>xn-1>xn=b由于xi-1>xi，?xi=xi-xi-1<0，于是有特殊地，當(dāng)a=b時(shí)，如果a>b，同樣可給出定積分即可，根據(jù)定積分的定義，上面兩個(gè)例子都可以表示為定積分：(1)曲邊梯形面積A是曲邊函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，即(2)變速直線運(yùn)動(dòng)的路程s是速度函數(shù)v(x)在時(shí)間間隔[T1,T2]上的定積分，即解把區(qū)間[0,1]分成n等份,分點(diǎn)為和小區(qū)間長度為例1（1）當(dāng)f(x)?0時(shí),f(x)在[a,b]上的定積分表示由曲線曲邊梯形的面積.（2）當(dāng)f(x)
5、?0時(shí),f(x)在[a,b]上的定積分表示曲邊梯形面積的負(fù)值.三、定積分的幾何意義A=A1+A2+A3例2、用定積分表示下列圖中陰影部分的面積例3、用定積分表示由所圍平面圖形的面積。1o解：平面圖形如右圖所示例4用定積分表示由所圍平面圖形的面積。1o解：平面圖形如右圖所示A2A1由圖可知因?yàn)樗越夂瘮?shù)y?1?x在區(qū)間[0,1]上的定積分是以y=1-x為曲邊,以區(qū)間[0,1]為底的曲邊梯形的面積.例5四、定積分的性質(zhì)下面各性質(zhì)中的函數(shù)都假設(shè)是可積的.性質(zhì)1（1）兩個(gè)函數(shù)和的定積分等于它們定積分的和，即證根據(jù)定積分的定義
6、，有性質(zhì)1（1）可推廣到有限多個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情況，即證明性質(zhì)1（2）被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面，即性質(zhì)2如果在區(qū)間[a,b]上f(x)?1，那么性質(zhì)3（積分對區(qū)間的可加性）如果積分區(qū)間[a,b]被分點(diǎn)c分成區(qū)間[a,c]和[c,b]，則性質(zhì)3表明定積分對積分區(qū)間具有可加性，這個(gè)性質(zhì)可以用于求分段函數(shù)的定積分.當(dāng)c在區(qū)間[a,b]之外時(shí)，上面表達(dá)式也成立.利用定積分的幾何意義，可分別求出解解解性質(zhì)5如果在區(qū)間[a,b]上有f(x)≤g(x)，那么≤證由性質(zhì)1與定積分的定義，知由題設(shè)得知f(xi)≤g(xi)，
7、即f(xi)-g(xi)≤0，且?xi>0(i=1,2,···,n)，所以上式右端的極限值非正，從而有移項(xiàng)，得推論由性質(zhì)5可得例比較下列各對積分值的大?。航?1)根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，在[0,1]上，有由性質(zhì)4，得(2)令f(x)=x-ln(1+x)，f?(x)所以，f(x)≥f(0)=[x-ln(1+x)]
8、x=0=0，從而有x≥ln(1+x)，由性質(zhì)4，得函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)增加，知由在區(qū)間[0,1]上性質(zhì)5(估值定理)如果存在兩個(gè)數(shù)M，m，使函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]有m≤f(x)≤M，那么介于與
9、區(qū)間[a,b]長度為底，該性質(zhì)的幾何解釋是：曲線y=f(x)在[a,b]上的曲邊梯形面積分別以m和M為高的兩個(gè)矩形面積之間.m(b-a)≤M(b-a)．≤y=f(x)yxabmMOBA解解:令f?(x)=0，得駐點(diǎn)x=0.比較駐點(diǎn)x=0，區(qū)間端點(diǎn)x=?1的函數(shù)值，f(0)=e0=1，根據(jù)估值定理得例、估計(jì)定積分的值。最大值M=1，≤≤m(b-a
