矩陣對(duì)角化應(yīng)用

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1、矩陣的對(duì)角化的應(yīng)用摘要：矩陣是高等代數(shù)中的一個(gè)重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象。對(duì)角矩陣作為一種特殊的矩陣，在理論研究和矩陣性質(zhì)推廣中有重要意義。本文對(duì)可對(duì)角化矩陣做出了全面的概括和分析，并利用高等代數(shù)和線(xiàn)性代數(shù)的有關(guān)理論給出了矩陣可對(duì)角化的若干條件，同時(shí)也討論了化矩陣為對(duì)角形的求解方法，最后總結(jié)出可對(duì)角化矩陣在求方陣的高次冪﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩陣﹑判斷矩陣是否相似﹑向量空間﹑線(xiàn)性變換等方面的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：對(duì)角化；特征值；特征向量；相似一、概念所謂矩陣可對(duì)角化指的是矩陣與對(duì)角陣相似定義1：

2、如下形式的n×n矩陣=稱(chēng)為對(duì)角矩陣簡(jiǎn)記為=diag(,,,)定義2：把矩陣A（或線(xiàn)性變換）的每個(gè)次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的首項(xiàng)為1的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）稱(chēng)為矩陣A（或線(xiàn)性變換）的初等因子。定義3：設(shè)A是數(shù)域P上的n級(jí)矩陣，如果數(shù)域P上的多項(xiàng)式f(x)使得f(x)=0，則稱(chēng)f(x)以A為根，在以A為根的多項(xiàng)式中，次數(shù)最低且首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式稱(chēng)為A的最小多項(xiàng)式。定義4：設(shè)V是P上的線(xiàn)性空間，是V上的一個(gè)變換，如果對(duì)任意V和P都有，則稱(chēng)為V的一個(gè)線(xiàn)性變換定義5：設(shè)是數(shù)域P上

3、線(xiàn)性空間V的一個(gè)線(xiàn)性變換，如果存在P中的一個(gè)數(shù)和V中非零元素使得，則稱(chēng)為的一個(gè)特征值，而稱(chēng)為的屬于特征值的一個(gè)特征向量，由的屬于特征值的全部特征向量再添上零元素構(gòu)成的集合構(gòu)成V的一個(gè)子空間，稱(chēng)為的一個(gè)特征子空間。定義6:設(shè)A,B為數(shù)域P上的兩個(gè)n級(jí)矩陣，如果存在數(shù)域P上的n級(jí)可逆矩陣X使得B=AX，則稱(chēng)A相似于B，記為AB，并稱(chēng)由A變到B得變換為相似變換，稱(chēng)X為相似變換矩陣。二．矩陣對(duì)角化條件常用的充要條件（1）可對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量；（2）可對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)特征子空間維數(shù)之和為；（3）可對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)?shù)某醯纫蜃邮?/p>

4、一次的；（4）可對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)?shù)淖钚《囗?xiàng)式無(wú)重根。[2-5]三.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化的一種簡(jiǎn)化方法設(shè)是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，求正交矩陣使的問(wèn)題，一般方法可簡(jiǎn)述為：（1）求特征值；（2）求對(duì)應(yīng)的特征向量；（3）將特征向量正交標(biāo)準(zhǔn)化；（4）寫(xiě)出及.但是在特征值出現(xiàn)重跟的情況下，需用Schmidt正交方法求正交特征向量，計(jì)算較為復(fù)雜。現(xiàn)利用向量?jī)?nèi)積構(gòu)造齊次線(xiàn)性方程組，求出每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，從而求出正交矩陣.首先給出四條引理：（1）設(shè)是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則的特征值都是實(shí)數(shù)，且的不同特征值的特征向量相互正交；（2）設(shè)是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則一定相似于對(duì)角矩陣

5、，且存在正交矩陣有；（3）設(shè)是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，是的重特征值，則對(duì)應(yīng)于特征值，有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量；（4）設(shè)，為的所有互不相同的特征值，若可對(duì)角化，則的列向量為矩陣對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，且列向量組的極大無(wú)關(guān)組是特征向量空間的一個(gè)基。那么，定理關(guān)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，有特征值，；對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，記是由生成的向量空間，是由生成的向量空間。（1），（2）設(shè)，，令，則滿(mǎn)足，，…，，的，即線(xiàn)性方程組的解，其中，且是對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。這樣，，…，與是的一組正交基。該定理由上述四條引理可以證明。[7]現(xiàn)通過(guò)實(shí)例說(shuō)明其應(yīng)用：例4.2設(shè)，求，

6、使，其中是特征值。解：由，得特征值，.因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，由（2）可知一定可以對(duì)角化。的最小多項(xiàng)式，由（4）及，可得對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，，.又由，可得對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為，令；由定理可得，.標(biāo)準(zhǔn)化，，，，可得，，，.從而得正交矩陣.可以驗(yàn)證.四.主要結(jié)論：4.1A可對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。證明：必要性設(shè)在基下具有對(duì)角矩陣，這就是說(shuō)，因此就是的n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。反過(guò)來(lái)，如果有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，那么就取為基，顯然在這組基下的矩陣是對(duì)角矩陣。推論1.1.1如果在n維線(xiàn)性空間V中，線(xiàn)性變換的特征多項(xiàng)式

7、在數(shù)域P中有n個(gè)不同的根，即有n個(gè)不同的特征值，那么在某組基下的矩陣是對(duì)角形的。推論1.1.2在復(fù)數(shù)域上的線(xiàn)性空間中，如果線(xiàn)性變換的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根，那么在某組基下的矩陣是對(duì)角形的。例：已知在一組基下的矩陣為，試問(wèn)A是否可對(duì)角化？若能，寫(xiě)出相應(yīng)的基變換的過(guò)渡矩陣T。解：由于所以特征值為。當(dāng)時(shí)，解方程組，求得它的基礎(chǔ)解系是，因此對(duì)應(yīng)的的的特征向量為。當(dāng)時(shí)，解方程組，求得它的基礎(chǔ)解系是，因此對(duì)應(yīng)的特征向量為。綜上可知的特征值為7，-2對(duì)應(yīng)的特征向量為，又，即過(guò)渡矩陣T=且有4.2A可對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)A的所有重特征值對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特

8、征向量的個(gè)數(shù)等于其重?cái)?shù)。證明：若所對(duì)應(yīng)的矩陣可對(duì)角化，則有V=，這里是的所有互不相同的特征根，取每個(gè)的一組基，，合起來(lái)就是V的一組基，那么在這組基下的矩陣顯然是對(duì)角形。A=。于是的特征多項(xiàng)式為，顯然的根都在F內(nèi)，且每個(gè)特征根的重?cái)?shù)恰是的維數(shù)，必要性得證。反之，若