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《淺談矩陣對(duì)角化及其應(yīng)用》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。
1、淺談矩陣對(duì)角化及其應(yīng)用寫在前面：結(jié)識(shí)高等代數(shù)已經(jīng)快一年了，我們從最初的認(rèn)識(shí)行列式，一直到到現(xiàn)在的歐幾里得空間，逐一學(xué)習(xí)了線性方程組、矩陣、多項(xiàng)式、二次型、線性空間、線性變換，現(xiàn)在就淺談一下自己對(duì)矩陣對(duì)角化及其應(yīng)用的認(rèn)識(shí)。眾所周知：n維向量空間V中的線性變換/可否對(duì)角化的問題是高等代數(shù)中十分重要的內(nèi)容，而5可對(duì)角化的充要條件是/關(guān)于V的矩陣A可對(duì)角化。內(nèi)容摘要：文章綜述了矩陣可以對(duì)角化的條件，討論了可對(duì)角化矩陣的基本性質(zhì)和結(jié)論，給出了矩陣（特殊矩陣如是對(duì)稱陣）對(duì)角化的基本方法，以及對(duì)應(yīng)特征多項(xiàng)式的性質(zhì)，
2、最后討論其在特征值、特征向量方面的應(yīng)用。關(guān)鍵詞:矩陣對(duì)角化特征多項(xiàng)式特征值特征向量導(dǎo)言：文章由矩陣可對(duì)角化出發(fā)，說明矩陣可對(duì)角化的條件、討論了可對(duì)角化矩陣的基木性質(zhì)和結(jié)論，給出了矩陣（特殊矩陣如是對(duì)稱陣）對(duì)角化的基本方法，以及對(duì)應(yīng)特征多項(xiàng)式的性質(zhì)，最后討論其在特征值、特征向量方而的應(yīng)用。具體內(nèi)容：1、矩陣可對(duì)角化的條件：1）設(shè)5是n維線性空間的一個(gè)線性變換，5的矩陣可以在某一組基下維對(duì)角矩陣的充分必要條件是〃有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。2）方塊矩陣A被稱為可對(duì)角化的，如果它相似于對(duì)角矩陣，就是說，如果存
3、在一個(gè)可逆矩陣P使得PSP是對(duì)角矩陣。3）設(shè)A是數(shù)域F上的n階矩陣，如果存在F上n階可逆矩陣T,使得T-!AT=a,那么，就說矩陣A是口J以對(duì)角化的?？蓪?duì)角化矩陣的基木性質(zhì)和結(jié)論：1）數(shù)域F上n階矩陣A可以對(duì)角化的充要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。2）數(shù)域F上n階矩陣A在F內(nèi)有n個(gè)不同的特征根，那么A可以對(duì)角化。3）屬于不同特陣值的特征特真向量是線性無關(guān)的。4）如果在n維空間V中，線性變換5的特征多項(xiàng)式在數(shù)域P小有n個(gè)不同的根，即5有n個(gè)不同的特征值，那么在某組基下的矩陣是對(duì)角形的。5）任一n階實(shí)
4、對(duì)稱矩陣都可以對(duì)角化。6）對(duì)任一n階實(shí)對(duì)稱矩陣A,必存在n階正交矩陣T使得T"AT二diag（人，兀…，人），其中（人，人，???，人為A的特征根）。5）實(shí)對(duì)稱矩陣衛(wèi)的任一個(gè)特征值都是實(shí)數(shù)。6）實(shí)對(duì)稱矩陣4對(duì)應(yīng)于不同特征值的實(shí)特征向量是正交的。2、矩陣對(duì)角化的方法及實(shí)例解析：（以實(shí)對(duì)稱矩陣為例）實(shí)對(duì)稱矩陣是一類很重要的矩陣，它具有一些特殊的性質(zhì)，特別是，它可以正交相似于一個(gè)實(shí)對(duì)角陣。設(shè)A是一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣，a,B是任意的n維實(shí)向量，那么（Aa,p）=（a,AP）設(shè)A是一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣，T=[X,X
5、?...X」是一個(gè)正交矩陣使得,則入，A2,…人是A的所有特征值,而XHX2,…X”是A的n個(gè)相互正交的單位特征向量。2-1-11-121-1-112-11-1-12,求正交矩陣T,使得T-1AT為對(duì)角陣。二（2—1）嘗一5）2-2-111A-2-111-12-21-1112-2得月的特征值為21=22=23=1（三重特征值）,24=5.-1當(dāng)人二1時(shí)，由（A,E-A）=O,B
6、J：-11-11-1-1-11無2兀3=000兀401得基礎(chǔ)解系為e二100100-1把它正交化,得0=a、=丁10B一a
7、_〈。2‘01〉b_"5而蘆丄2121Q一穴_〈。3，02〉r_仏，01〉r_〈ZW/曲嚴(yán)―丄—31313_0_0_-10再將英單位化得:_V22V220072V66_V66V6306Ji6V36■亞231當(dāng)血=5時(shí),由（人E-A）二0即：1—1-11■1■-1得基礎(chǔ)解系為也二，將其單位化得:—1則〃1，耳3,〃4是A的一組單位正交的特征向量，令V2V312632V2_AJ316620丁63V316200忑122T二［仏“2“3%］二則T是一個(gè)正交矩陣。且T-AT,求正交矩陣T,使得T-*AI為對(duì)角陣
8、。A-4解：由2E-A二-2-2Z-4-2=(2-2)2(2-8)-2得的特征值為人二人二2（二重特征值），A3=8O=2~02x2二02￡0-2-2當(dāng)2產(chǎn)血二2時(shí)，由(入E-A)X二0,B
9、J：-2-2-2-2_-1~■-T得基礎(chǔ)解系為e二1_0_,a2=01把它止交化得:■_V2'V6'6再將其單位化得：7i=422，"2二V660V63■f3得基礎(chǔ)解系為二1，將其單位化得：％二陰31陰3則“I，“2,“3是衛(wèi)的—組單位4-2-20當(dāng)久3二8時(shí)，由（23E-A）X二0,即：-24-2兀2二0-2
10、-24無30412_V663772仏］二412后6侖30333正交的特征向量，令T二加則T是一個(gè)正交矩陣，且T-1AT=2?83、可對(duì)角化矩陣的應(yīng)用可對(duì)角化矩陣作為一類特殊的矩陣，在理論上和應(yīng)用上都有著十分重要的意義，例如其在求特征值、特征向量方面有著重要的應(yīng)用，可以簡(jiǎn)化計(jì)算。1）求方陣的高次幕一般說，求矩陣的高次幕比較困難，但若矩陣A能相似于對(duì)角矩陣G4可以對(duì)角化）,即若存在可逆矩陣P,使得P"AP二B,其中B是對(duì)角陣?則A二PBP—',An=（PBP
