矩陣的對角化及其應(yīng)用 畢業(yè)論文

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1、學(xué)科分類號（二級）110.2110本科學(xué)生畢業(yè)論文（設(shè)計）　題　　目　矩陣的對角化及其應(yīng)用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　姓　　名　　　　　　　　學(xué)　　號　　　　084080217　　　　　　　　院、　系　　　　數(shù)學(xué)學(xué)院　　　　　　　　　?！　I(yè)　　　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)　　　　　　　指導(dǎo)教師　　　　　　　　　　職稱（學(xué)歷）　講師（博士）　　11矩陣的對角化及其應(yīng)用摘要：本文較為系統(tǒng)的總結(jié)了矩陣可對角化的若干條件和矩陣對角化的方法，同時考慮了矩陣對角化的一些應(yīng)用，

2、并以例題加以說明．關(guān)鍵詞：矩陣對角化；應(yīng)用1.引言及相關(guān)概念矩陣的對角化指的是矩陣與對角矩陣相似，而形式最簡單的對角矩陣在矩陣?yán)碚撝姓加兄匾匚?，因此研究矩陣的對角化問題是很有實用價值的．目前對于矩陣可對角化的條件，矩陣對角化的方法和矩陣對角化的運(yùn)用都有了較為全面和深入的研究．其中王萼芳和石生明在參考文獻(xiàn)[1]<<高等代數(shù)>>中重點(diǎn)介紹了矩陣對角化的特征值特征向量法和矩陣可對角化的幾個條件，如；A可對角化的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的量．李啟文和謝季堅在參考文獻(xiàn)[2]<<線性代數(shù)理論與解題方

3、法>>詳細(xì)介紹了利用矩陣的初等變換將矩陣對角化和利用矩陣的乘法運(yùn)算將矩陣對角化兩種比較常用方法．還有徐仲在參考文獻(xiàn)[3]<<線性代數(shù)典型題分析解集>>（第二版）中利用例題詳細(xì)講解了矩陣對角化的幾種應(yīng)用．文獻(xiàn)[4-10]也都涉及到了矩陣對角化及其應(yīng)用的相關(guān)知識．在歸納總結(jié)前人的基礎(chǔ)之上，本文首先利用圖示法給出了矩陣對角化的若干條件，然后介紹了矩陣對角化的三種方法：利用特征值和特征向量將矩陣對角化、利用用矩陣的初等變換將矩陣對角化、利用用矩陣的乘法運(yùn)算將矩陣對角化．并用這三種方法解同一道例題，從而比

4、較出三種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，最后總結(jié)了矩陣對角化在由特征值和特征向量反求矩陣、求方陣的高次冪、求行列式的值、求一些具有線性遞推關(guān)系組的數(shù)列的通項和極限和二次曲面上的一些應(yīng)用．下面列舉本文需要的基本概念．定義1.1如下形式的n×n矩陣A=稱為對角矩陣，簡記為A=diag．定義1.2設(shè)A、B為數(shù)域P上的兩個n級矩陣，如果存在數(shù)域P上的n級可逆矩陣T,使得B=AT，則稱A相似于B，記為A～B．定義1.3如果在數(shù)域P上，對n級矩陣A存在一個可逆矩陣T，使得11AT為對角矩陣，則稱矩陣A在數(shù)域P上可對角化；當(dāng)A

5、可對角化時，我們說將A對角化，即指求可逆矩陣T使得AT為對角矩陣．1.矩陣可對角化的條件對于矩陣A=，我們可以找到一個可逆矩陣T=，使得AT=，而又是一個對角矩陣．根據(jù)定義1.3知，矩陣A=可對角化．但對于矩陣B=而言，若存在可逆矩陣T=，使得BT為對角矩陣，即=，得到=．則有，即要全為0．但這與矩陣T可逆矛盾．因此對于矩陣B=不存在可逆矩陣T，使得AT為對角矩陣．我們知矩陣B=不可對角化．由此我們知道不是任何矩陣都可以對角化，矩陣的對角化是有條件的．現(xiàn)給出矩陣可對角化的若干條件如下圖所示：矩陣

6、A可對角化設(shè)A=，則矩陣A有n個互異的特征值矩陣A有n個線性無關(guān)的特征向量矩陣A為實對稱矩陣矩陣A的所有重特征值對應(yīng)個線性無關(guān)的特征向量矩陣A正交相似于實對角矩陣111.矩陣對角化的三種方法矩陣對角化最常見的方法是考察矩陣的特征值和特征向量的方法．由于這種方法一般教材都有詳細(xì)介紹，這里用圖示加以總結(jié)．解特征方程得特征值矩陣A是否有重特征值否否是矩陣A不可對角化矩陣A的所有重特征值是否對應(yīng)個線性無關(guān)的的特征向量是矩陣A可對角化求每個特征值對應(yīng)的特征向量取矩陣則有AT=diag11矩陣對角化的第二種

7、方法是利用矩陣的初等變換，其理論基礎(chǔ)是下述定理．定理3.1[4]如果{，E}經(jīng)過初等變換化為{D(),P()},其中表示特征矩陣的轉(zhuǎn)置，D()為對角矩陣，則（1）矩陣A的特征值為D()對角線上元素的乘積所得到的關(guān)于多項式的根．（2）對于A的每個特征值，其特征向量是P（）中與D（）的零行對應(yīng)的行向量．（3）矩陣A可對角化的充要條件是D（）中零行的數(shù)目等于的重數(shù)．矩陣對角化還可以根據(jù)以下定理進(jìn)行．定理3.2[4]設(shè)是矩陣A在數(shù)域P上的全部互異的特征值，（1）若,則A可以對角化，反之，不可以對角化．（

8、2）設(shè)是r重根，則A的屬于（=1，2,）的特征向量是矩陣列向量中的前r列．例1判斷矩陣A=可否對角化，若可以，求可逆矩陣T，使得AT為對角矩陣．解法一：==,所以特征值是2（二重）和-4．解齊次線性方程組，得一基礎(chǔ)解系為和．二重特征值2有2個線性無關(guān)的特征向量．則矩陣A可對角化．解齊次線性方程組,得一基礎(chǔ)解系為11取T=，則AT=．說明：這種方法相對來說比較簡單和基礎(chǔ)，也是常用方法．解法二：{，E}=．故A的特征值是2（二重）和-4．{D（2），P（2）}=，得和是A屬于2的特征向量．{D（-4