淺談矩陣對角化

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1、淺談矩陣對角化內(nèi)容:本文對矩陣對角化做了一些概括和分析,并結(jié)合幾個典型的應用實例列舉了對角化矩陣的應用,反映出可對角化矩陣在某些問題的研究中所起的重要作用。　　關鍵詞:線性代數(shù);矩陣;對角化;應用　　:O13:A　　　　線性代數(shù)是討論代數(shù)學中線性關系經(jīng)典理論的課程,它具有較強的抽象性和邏輯性,是高等學校工科各專業(yè)的一門重要的基礎理論課,它對培養(yǎng)一個人的邏輯思維能力、抽象思維能力、計算能力、推理能力都起著非常重要的作用。由于線性問題廣泛存在于科學技術的各個領域,而某些非線性問題在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為線性問題,因此線性代數(shù)中的矩陣所介紹的思想和方法廣泛應用于各個學科,尤其在計算機日益普及

2、的今天?！　∫?、矩陣的對角化　　在“線性代數(shù)”中,我們知道根據(jù)方陣A的多項式f(A)=0,往往可以較容易地求得A的特征值取值范圍,但A的每個特征值的重數(shù),A是否可以對角化卻不得而知。例如A2=A,A特征值的取值范圍為0,1;我們可以證明A可以對角化;同樣A2=E,A特征值的取值范圍為1,-1;A也可以對角化。但A2=0,A≠0時,A的特征值均為0,A卻不能對角化。本文將給出f(A)=0時,A可以對角化的一個充分條件?！　榱藬⑹龇奖闫鹨?下面先給出兩個著名的關于的矩陣秩的結(jié)論作為引理?！　∫?:設A,B均為n階方陣,則:　　秩(A+B)≤秩(A)+秩(B)　　引理2:(Sylves

3、ter公式)設A,B均為n階方陣,則:　　秩(A)+秩(B)≤n+秩(AB)　　從線性代數(shù)原理我們可以得到很多關于Sylvester定理的證明方法。反復應用Sylvester定理,進一步可證得Sylvester定理更一般的形式,即　　引理3:設A1,A2…As均為n階方陣,則:　　秩(A1)+秩(A2)+…+秩(As)≤(n-1)n+秩(A1,A2…As)　　命題1:設A為n階方陣,A2=A,則A可以對角化。　　命題2:設A為n階方陣,A2=E,則A可以對角化。　　可得到下面2個結(jié)論?！　≡OA為n階方陣,λ1≠λ2,且(A-λ1E)(A-λ2E)=0,則A可以對角化?！　≡OA為n階方

4、陣,λ1λ2…λs兩兩互不相等,使得:(A-λ1E)(A-λ2E)…(A-λsE)=0則A可以對角化。　　例1:設n階方陣A滿足A3-5A2+6A=0,則A可以對角化;并且　　秩(A)+秩(A-2E)+秩(A-3E)=2n　　證明:由A3-5A2+6A=0可得A(A-2E)(A-3E)=0　　從而可知:A可以對角化;并且秩(A)+秩(A-2E)+秩(A-3E)=2n　　另外還有一種方式,即在可對角化的前提下要確定矩陣所相似的對角矩陣,關鍵是確定其特征值及其重數(shù)。　　若,　　　　即λ=0是A的n-1重特征值,λ=βTα是A的單非零特征值。此時A滿足定理條件,故A相似于對角矩陣,其中0的

5、個數(shù)為n-1個?！　☆愃频?若n階矩陣A的秩r(A)=n-1(n≥3),則r(A*)=1,于是當A11+A22+…Ann=0時,A*有n重特征值0,其對應的線性無關特征向量取為A的n-1個線性無關的列向量ξ1,ξ1…ξn-1,故A*沒有n個線性無關的特征向量,因此A*不能對角化。而當A11+A22+…+Ann≠0時,A*有n-1重特征值0及單非零特征值A11+A22+…+Ann≠0,此時A*滿足定理條件,所以A*相似于對角矩陣diag(0,…,0,A11+A22+…+Ann),其中0的個數(shù)為n-1個?！　《?、對角化矩陣的應用　　可對角化矩陣作為一類特殊的矩陣,在理論上和應用上都有著十

6、分重要的意義,例如求方陣的高次冪、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩陣、判斷矩陣是否相似、在向量空間、線性變換等方面都有應用?！　∠挛墓P者結(jié)合實際問題的應用實例?！　±?:有甲、乙兩個地區(qū),甲地每年有30%的人遷入乙地,乙地每年有20%的人遷入甲地,設甲地人口60萬,乙地人口40萬,且兩地區(qū)總?cè)丝诒３植蛔?問5年后甲地及乙地人口分別是多少?經(jīng)過很長時間后,兩地人口的分布是否會趨于一個“穩(wěn)定狀態(tài)”?　　解:第一年后,甲地人口0.7×60+0.2×40=50;　　乙地人口0.3×60+0.8×40=50　　我們可以把上面的計算寫成矩陣的乘積,　　即,記　　　　那么第5年后兩

7、地人口可由A5x給出,為計算出A5,我們先將A對角化,矩陣A的特征值為1和1/2,它們對應的特征向量分別為[2,3]T和[1,-1]T　　令,則,可得　　　　所以,5年后甲地有40.625萬人,乙地有59.375萬人。n年后兩地人口由Anx給出,　　　　為得到經(jīng)過很長時間后的人口分布情況,我們?nèi)→∞時的極限,　　因此,經(jīng)過很長時間后,兩地人口的分布會趨于穩(wěn)定,且甲地有40萬人,乙地有60萬人。