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《04 矩陣對(duì)角化》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第四講矩陣的對(duì)角化基元素坐標(biāo)向量加法元素加法坐標(biāo)向量的加法數(shù)乘數(shù)與元素“乘”數(shù)與坐標(biāo)向量相乘線性變換及其作用對(duì)應(yīng)關(guān)系矩陣與坐標(biāo)列向量的乘積對(duì)任何線性空間，給定基后，我們對(duì)元素進(jìn)行線性變換或線性運(yùn)算時(shí)，只需用元素的坐標(biāo)向量以及線性變換的矩陣即可，因此，在后面的內(nèi)容中著重研究矩陣和向量。對(duì)角矩陣的形式比較簡(jiǎn)單，處理起來較方便，比如求解矩陣方程時(shí)，將矩陣對(duì)角化后很容易得到方程的解。對(duì)角化的過程實(shí)際上是一個(gè)去耦的過程。以前我們學(xué)習(xí)過相似變化對(duì)角化。那么，一個(gè)方陣是否總可以通過相似變化將其對(duì)角化呢？或者對(duì)角化需要什么樣的條件呢？如果不能對(duì)角化，我們還可以做哪些處理使問題變
2、得簡(jiǎn)單呢？一、特征值與特征向量1.定義：對(duì)階方陣，若存在數(shù)，及非零向量（列向量），使得,則稱為的特征值，為的屬于特征值的特征向量。特征向量不唯一特征向量非零7有非零解，則，稱為的特征多項(xiàng)式。[例1]，求其特征值和特征向量。[解]屬于特征值的特征向量可取基礎(chǔ)解系為屬于的特征向量可取基礎(chǔ)解系為2.矩陣的跡與行列式7所有對(duì)角元素之和3.兩個(gè)定理（1）設(shè)、分別為和階矩陣，則（2）sylvster定理：設(shè)、分別為和階矩陣，則即：AB與BA的特征值只差零特征值的個(gè)數(shù)，非零特征值相同。一、矩陣對(duì)角化的充要條件定理：階方陣可通過相似變換對(duì)角化的充要條件是它具有個(gè)線性無關(guān)的特征向
3、量。[證明]充分性：已知具有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則線性無關(guān)，故為滿秩矩陣，令，則有7必要性：已知存在可逆方陣，使將寫成列向量，為維列向量可見，為的特征值，為的特征向量，具有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。推論：階方陣有個(gè)互異的特征值，則必可對(duì)角化。（充分條件）一、內(nèi)積空間1.Euclid空間設(shè)是實(shí)線性空間（），對(duì)于中任何兩個(gè)元素、均按某一規(guī)則存在一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記為，若它滿足（1）交換律（2）分配律(3)齊次律（4）非負(fù)性，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，則稱為與的內(nèi)積，定義了內(nèi)積的實(shí)線性空間稱為Euclid空間。7對(duì)于一個(gè)給定的線性空間，可以定義多種內(nèi)積，較典型的如三維向量空間的數(shù)量積
4、就滿足以上四條性質(zhì)，構(gòu)成內(nèi)積。以維向量空間為例：，可定義內(nèi)積，它滿足內(nèi)積的四條性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，該內(nèi)積可寫為：，其中更一般的，對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣，也滿足內(nèi)積的定義。正定：（1）特征值全為正（2）各階順序主子式大于02.酉空間：設(shè)是復(fù)線性空間（），對(duì)于中任何兩個(gè)元素、均按某一規(guī)則存在一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記為，若它滿足（1）交換律（2）分配律（3）齊次律or7（4）非負(fù)性，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，則稱為與的內(nèi)積，定義了內(nèi)積的復(fù)線性空間稱為酉空間。以維向量空間為例，為厄米（）正定（）矩陣，較常見的比如，最簡(jiǎn)單：實(shí)復(fù)3.正交性：若，則稱與正交。與的夾角：，稱為與的夾
5、角。4.Gram-Schmidt正交化手續(xù)設(shè)為一組線性無關(guān)的元素或向量，可以進(jìn)行如下正交歸一化操作（正交規(guī)范化或正交單位化）：1°2°選擇合適的使與正交，3°選擇、使與和均正交7一般的，成為一組正交歸一化向量：若為一組基元素，則成為標(biāo)準(zhǔn)正交基。作業(yè)：P106－1071(1)(2),2,4,5,10,117
