拉格朗日乘數(shù)法在消費者均衡原則中應(yīng)用

《拉格朗日乘數(shù)法在消費者均衡原則中應(yīng)用》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、拉格朗日乘數(shù)法在消費者均衡原則中的應(yīng)用在利用偏導(dǎo)數(shù)求多元函數(shù)的極值時，若函數(shù)的自變量有附加條件，則稱之為條件極值。這時，可用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。具體方法如下:拉格朗日乘數(shù)法：設(shè)給定二元函數(shù)z=?(x,y)和附加條件φ(x,y)=0，為尋找z=?(x,y)在附加條件下的極值點，先做拉格朗日函數(shù)L(x,y)=?(x,y)+λ(x,y)，其中λ為參數(shù)。求L(x,y)對x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立，即L＇x(x,y)=?＇x(x,y)+λφ＇x(x,y)=0，L＇y(x,y)=?＇y(x,y)+λφ＇y(x,y)=0，φ(x,y)=

2、0由上述方程組解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函數(shù)z=?(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點。微觀經(jīng)濟學(xué)研究消費者行為時，所要闡述的核心問題是消費者均衡的原則。所謂消費者均衡指的是一個有理性的消費者所采取的均衡購買行為。進一步說，它是指保證消費者實現(xiàn)效用最大化的均衡購買行為。但人的需要或欲望是無限的，而滿足需要的手段是有限的。所以微觀經(jīng)濟學(xué)所說的效用最大化只能是一種有限制的效用最大化。而這種限制的因素就是各種商品的價格和消費者的貨幣收入水平。首先，我們先引入一些名詞解釋:總效用(TU):消費者在一定時間內(nèi)消費一定數(shù)量某種商品或商

3、品組合所得到的總的滿足。邊際效用(MU):消費者在所有其它商品的消費水平保持不變時，增加消費一單位某種商品所帶來的滿足程度的增加，也就是說指增加一單位某種商品所引起的總效用的增加。商品數(shù)量(Q)，商品價格(P),收入(I)邊際效用的公式表達為:MU=?TU/?Q那么如何才能實現(xiàn)在制約條件下效用最大化的商品組合呢？就是當消費者把全部收入用于購買各種商品時，他從所購買的每一種商品所得到的邊際效用與其價格的比例都相同，這樣的商品組合就是最佳的或均衡的商品組合。假設(shè)當消費者選擇兩種商品x,y時，消費者均衡原則的公式表達為:MUx?MUyPxPy制約條件的公式表

4、達式為:I=Px?Qx+Py?Qy。那么這一結(jié)論是如何推導(dǎo)出來的呢？解決這一問題最直接的方法就是拉格朗日乘數(shù)法。設(shè)效用函數(shù)U(Qx,Qy),為使它在制約條件下取得極值，首先建立拉格朗日函數(shù):L=U(Qx,Qy)+λ(I-Px?Qx-Py?Qy)，λ為參數(shù)。求L(x,y)對x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件連立。即?L/?Qx=?U/?Qx-λPx=0⑴?L/?Qy=?U/?Qy-λPy=0⑵I-Px?Qx-Py?Qy=0⑶將方程⑴除以方程⑵，得:?U/?Qx?Px即MUx?MUy?U/?QyPyPXPy所以，消費者要實現(xiàn)兩種商品的效用最大化

5、，邊際效用的比率應(yīng)該等于價格比率。以上是關(guān)于x和y兩種商品所說的，是否同樣適用于多種商品呢？答案是肯定的。如果消費者在n種商品中做出選擇，則消費者均衡的原則可表達為:MU1?MU2?MU3?…?MUnP1P2P3Pn這一結(jié)論同樣可用拉格朗日乘數(shù)法證明。拉格朗日乘數(shù)法可推廣到求n元函數(shù)?(x1,x2,…,xn)在m個附加條件φ(x1,x2,…,xn)下的條件極值。方法如下:m⑴做拉格朗日函數(shù)L(x1,x2,…,xn)=?(x1,x2,…,xn)+∑λiφi(x1,…x2);i=1⑵求L(x1,…xn)關(guān)于x1,…xn的偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)

6、立，即mL＇xi==?＇xi+∑λiφ'i=0,i=1,2,…,ni=1φk(x1,x2,…,xn)=0,k=1,2,…,n求解此方程組，可得到極值點?，F(xiàn)在回到我們的問題中，設(shè)效用函數(shù)U(Qx1,Qx2,…Qxn),為使它在制約條件下取得極值,首先建立拉格朗日函數(shù):L=U(Qx1,Qx2,…Qxn)+λ(I-Px1?Qx1-P2?Qy2-…-Pxn?Qxn)，λ為參數(shù)。求L(x1,x2,…xn)對x1,…,xn的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立。即?L/?Qx1=?U/?Qx1-λPx1=0（1）?L/?Qx2=?U/?Qx2-λPx2=0（

7、2）………?L/?Qxn=?U/?Qxn-λPxn=0（n）I-Px1?Qx1-P2?Qy2-…-Pxn?Qxn將方程⑴到(n)相除，即得，MUx1?MUx2?…?MUxnPx1Px2Pn所以，消費者要實現(xiàn)n種商品的效用最大化，邊際效用的比率應(yīng)該等于價格比率。