函數(shù)值域10種求法

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1、一．觀察法通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。例1求函數(shù)y=3+√(2－3x)的值域。點撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出√(2－3x)的值域。解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3?！嗪瘮?shù)的知域為.點評：算術(shù)平方根具有雙重非負性，即：（1）被開方數(shù)的非負性，（2）值的非負性。本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。練習：求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域為：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函數(shù)法當函數(shù)的反函數(shù)存在時，則其

2、反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。點撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。解：顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1－2y)/（y－1）,其定義域為y≠1的實數(shù),故函數(shù)y的值域為｛y∣y≠1,y∈R｝。點評：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。練習：求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函數(shù)的值域為｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法當所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時,可以利用

3、配方法求函數(shù)值域例3：求函數(shù)y=√(－x2+x+2)的值域。點撥：將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。解：由－x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域為x∈[－1，2]。此時－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函數(shù)的值域是[0,3/2]點評：求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。練習：求函數(shù)y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})四．判別式法若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式

4、法求函數(shù)的值域。例4求函數(shù)y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。點撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。解：將上式化為（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）當y≠2時,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3當y=2時,方程(＊)無解?！嗪瘮?shù)的值域為2＜y≤10/3。點評：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實數(shù)解，故其判別式為非負數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+d

5、x+e)的函數(shù)。練習：求函數(shù)y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域為y≤－8或y>0）。五．最值法對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。點撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，將

6、y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。當x=-1時，z=－5；當x=3/2時，z=15/4?！嗪瘮?shù)z的值域為｛z∣－5≤z≤15/4｝。點評：本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對開區(qū)間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。練習：若√x為實數(shù)，則函數(shù)y=x2+3x-5的值域為（）A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞]C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）（答案：D）。六．圖象法通過觀察函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結(jié)合的

7、方法得到函數(shù)的值域。例6求函數(shù)y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。點撥：根據(jù)絕對值的意義，去掉符號后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。解：原函數(shù)化為－2x+1(x≤1)y=3(-12)它的圖象如圖所示。顯然函數(shù)值y≥3,所以，函數(shù)值域[3，＋∞]。點評：分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點。利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問題的重要方法。求函數(shù)值域的方法較多，還適應(yīng)通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域。七．單調(diào)法利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。例1求函數(shù)y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域

8、。點撥：由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，即g(x)=－√1-3x,y=f(