大班三次函數(shù)切線

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1、知識點1:三次函數(shù)的性質(zhì)以及在高考中的應(yīng)用三次函數(shù)已經(jīng)成為中學(xué)階段一個重要的函數(shù)，在高考和一些重大考試中頻繁出現(xiàn)有關(guān)它的單獨命題。2004年高考，在江蘇卷、浙江卷、天津卷、重慶卷、湖北卷中都出現(xiàn)了這個函數(shù)的單獨命題，特別是湖北卷以壓軸題的形式出現(xiàn)，更應(yīng)該引起我們的重視。單調(diào)性和對稱性最能反映這個函數(shù)的特性。下面我們就來探討一下它的單調(diào)性、對稱性以及圖象變化規(guī)律。函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為。我們不妨把方程稱為原函數(shù)的導(dǎo)方程，其判別式。若，設(shè)其兩根為，則可得到以下性質(zhì)：性質(zhì)1：函數(shù)，若，當(dāng)時，y＝f(x)是增函數(shù)；當(dāng)時，其單

2、調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；若，當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，其單調(diào)遞減區(qū)間是，，單調(diào)遞增區(qū)間是。（證明略）推論：函數(shù)，當(dāng)時，不存在極大值和極小值；當(dāng)時，有極大值、極小值。根據(jù)a和的不同情況，其圖象特征分別為：圖1性質(zhì)2：函數(shù)若，且，則：；。（證明略）性質(zhì)3：函數(shù)是中心對稱圖形，其對稱中心是（）。證明：設(shè)函數(shù)的對稱中心為（m，n）。按向量將函數(shù)的圖象平移，則所得函數(shù)是奇函數(shù)，所以化簡得：上式對恒成立，故，得，。所以，函數(shù)的對稱中心是（）?？梢姡瑈＝f(x)圖象的對稱中心在導(dǎo)函數(shù)y＝的對稱軸上，且又是兩個極值點的中點

3、。下面僅選一些2004年高考中出現(xiàn)的部分試題，讓我們來體會一下如何應(yīng)用這些性質(zhì)快速、準(zhǔn)確地解答問題。例1.（浙江）設(shè)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖2所示，則y＝f(x)的圖象最有可能是（）圖2圖3解：根據(jù)圖象特征，不妨設(shè)f(x)是三次函數(shù)。則的圖象給出了如下信息：①；②導(dǎo)方程兩根是0，2，（f(x)對稱中心的橫坐標(biāo)是1）；③在（0，2）上；在（－，0）或（2，）上。由①和性質(zhì)1可排除B、D；由③和性質(zhì)1確定選C。例2.（江蘇）函數(shù)在閉區(qū)間[－3，0]上的最大值、最小值分別是（）A.1，－1B.1，－17C

4、.3，－17D.9，－19解：函數(shù)的導(dǎo)方程是，兩根為1和－1，由性質(zhì)2得：，。故選C。例3（2012四川文）．設(shè)函數(shù)，是公差不為0的等差數(shù)列，，則（A）0（B）7（C）14（D）21解析：函數(shù)關(guān)于點（3,2）對稱，即當(dāng)時，，∵是公差不為0的等差數(shù)列，∴，猜想：當(dāng)時，滿足，故此時．例4.（湖北）已知，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相切。（I）求b與c的關(guān)系式（用c表示b）；（II）設(shè)函數(shù)在（）內(nèi)有極值點，求c的取值范圍。解：（I）依題意，，得，所以因為所以（II）因為所以F（x）的導(dǎo)方程為：依性質(zhì)1的推論得：所以，所以

5、或解之得故所求c的范圍是（0，）（）。例4.（天津）已知函數(shù)在x＝±1處取得極值。（I）討論f(1)和f(－1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值；（II）過點A（0，16）作曲線y＝f(x)的切線，求此切線方程。解：（I）因為，所以導(dǎo)方程。因為在x＝±1處取得極值，所以，是導(dǎo)方程的兩根，所以解得a＝1，b＝0所以由推論得是f(x)的極大值；f(1)＝－2是f(x)的極小值。（II）曲線方程為，點A（0，16）不在曲線上。設(shè)切點為M因為，故切線方程為點A（0，16）在切線上，所以解得，切點為M（－2，－2）故所

6、求切線方程為縱觀以上事例，只要我們掌握了函數(shù)的三條性質(zhì)，在高考中無論是容易題、中檔題還是難題，都能找到明確的解題思路，解題過程也簡明扼要。盡管如此，我們還要進(jìn)一步加強(qiáng)對三次函數(shù)的單調(diào)性、極值、對稱性、圖象變化規(guī)律、切線方程等性質(zhì)的研究，這也有助于提高對知識系統(tǒng)性的理解水平，拓寬解題思路。知識點2：三次函數(shù)切線問題一、過三次函數(shù)上一點的切線問題。設(shè)點P為三次函數(shù)圖象上任一點，則過點P一定有直線與的圖象相切。若點P為三次函數(shù)圖象的對稱中心，則過點P有且只有一條切線；若點P不是三次函數(shù)圖象的對稱中心，則過點P有兩條

7、不同的切線。證明設(shè)過點P的切線可以分為兩類。1、P為切點，切線方程為：P不是切點，過P點作圖象的切線，切于另一點Q（）又（1）即代入（1）式得討論：當(dāng)時，，得，當(dāng)時，兩切線重合，所以過點P有且只有一條切線。當(dāng)時，，所以過點P有兩條不同的切線。其切線方程為：由上可得下面結(jié)論：過三次函數(shù)上異于對稱中心的任一點作圖象的切線，切于另一點，過作圖象的切線切于，如此繼續(xù)，得到點列--------，則，且當(dāng)時，點趨近三次函數(shù)圖象的對稱中心。證明：設(shè)過與圖象切于點的切線為，又=即設(shè)則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，即。（2）過三次函

8、數(shù)外一點的切線問題。設(shè)點為三次函數(shù)圖象外，則過點一定有直線與圖象相切。（1）若則過點恰有一條切線；（2）若且，則過點恰有一條切線；（3）若且=0，則過點有兩條不同的切線；（4）若且，則過點有三條不同的切線。其中證明設(shè)過點作直線與圖象相切于點則切線方程為把點代入得：，設(shè)令則因為恰有一個實根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在上為單調(diào)函數(shù)或兩極值同號，所以或且時，過點恰有一條切線。有兩個不同實根的充要條