三次函數(shù)切線斜率

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1、高考中三次函數(shù)圖象的切線問(wèn)題浙江奉化奉港中學(xué)羅永高程雪飛315500三次函數(shù)的切線蘊(yùn)含著許多美妙的性質(zhì)，用導(dǎo)數(shù)方法探求切線的性質(zhì)，為分析問(wèn)題和解決問(wèn)題提供了新的視角、新的方法，不僅方便實(shí)用，而且三次函數(shù)的切線性質(zhì)變得十分明朗.縱覽近幾年高考數(shù)學(xué)試題，三次函數(shù)的切線問(wèn)題頻頻出現(xiàn)，本文給出三次函數(shù)切線的三個(gè)基本問(wèn)題.一、已知斜率為與三次函數(shù)圖象相切的切線三次函數(shù)1、,斜率時(shí)，有且只有一條切線；時(shí)，有兩條不同的切線；時(shí)，沒(méi)有切線；2、,斜率時(shí)，有且只有一條切線；時(shí)，有兩條不同的切線；時(shí)，沒(méi)有切線；證明1、當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相同解，所以斜率為的切線有且只有一條；其方程為：5當(dāng)時(shí)，方程，有兩個(gè)

2、不同的解，且=-，即存在兩個(gè)不同的切點(diǎn)，且兩個(gè)切點(diǎn)關(guān)于三次函數(shù)圖象對(duì)稱中心對(duì)稱。所以斜率為的切線有兩條。當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)根，所以斜率為的切線不存在。2、時(shí)，讀者自己證明。二、過(guò)三次函數(shù)圖象上一點(diǎn)的切線設(shè)點(diǎn)P為三次函數(shù)圖象上任一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P一定有直線與的圖象相切。若點(diǎn)P為三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，則過(guò)點(diǎn)P有且只有一條切線；若點(diǎn)P不是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，則過(guò)點(diǎn)P有兩條不同的切線。證明設(shè)過(guò)點(diǎn)P的切線可以分為兩類。1P為切點(diǎn)切線方程為：2P不是切點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作圖象的切線，切于另一點(diǎn)Q（）又（1）即代入（1）式5得討論：當(dāng)時(shí)，，也就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，兩切線重合，所以過(guò)點(diǎn)P有且只有一條切線。當(dāng)時(shí)，，所以過(guò)點(diǎn)

3、P有兩條不同的切線。其切線方程為：由上可得下面結(jié)論：過(guò)三次函數(shù)上異于對(duì)稱中心的任一點(diǎn)作圖象的切線，切于另一點(diǎn)，過(guò)作圖象的切線切于，如此繼續(xù)，得到點(diǎn)列--------，則，且當(dāng)時(shí)，點(diǎn)趨近三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心。證明設(shè)過(guò)與圖象切于點(diǎn)的切線為，又=即設(shè)則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，即。5三、過(guò)三次函數(shù)圖象外一點(diǎn)的切線設(shè)點(diǎn)為三次函數(shù)圖象外一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)一定有直線與圖象相切。（1）若則過(guò)點(diǎn)恰有一條切線；（2）若且，則過(guò)點(diǎn)恰有一條切線；（3）若且=0，則過(guò)點(diǎn)有兩條不同的切線；（4）若且，則過(guò)點(diǎn)有三條不同的切線。其中證明設(shè)過(guò)點(diǎn)作直線與圖象相切于點(diǎn)則切線方程為把點(diǎn)代入得：，設(shè)令則因?yàn)榍∮幸粋€(gè)實(shí)根的充要條件是曲

4、線與軸只相交一次，即在上為單調(diào)函數(shù)或兩極值同號(hào)，所以或且時(shí)，過(guò)點(diǎn)恰有一條切線。有兩個(gè)不同實(shí)根的充要條件是曲線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所以且=0時(shí)，過(guò)點(diǎn)有兩條不同的切線。有三個(gè)不同實(shí)根的充要條件是曲線與5軸有三個(gè)公共點(diǎn)，即有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值，且兩極值異號(hào)。所以且時(shí)，過(guò)點(diǎn)有三條不同的切線。5