幾何的角度解釋矩陣出現(xiàn)病態(tài)2

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1、矩陣的范數(shù)范數(shù)的定義　　若X是數(shù)域K上的線(xiàn)性空間，泛函║·║:X->R滿(mǎn)足：　　1.正定性：║x║≥0，且║x║=0<=>x=0；　　2.正齊次性：║AB║│≤│A║B║；　　3.次可加性(三角不等式)：║A+B║≤║A║+║B║?！　∧敲川U·║稱(chēng)為X上的一個(gè)范數(shù)。　?。ㄗ⒁獾建Ux+y║≤║x║+║y║中如令y=-x，再利用║-x║=║x║可以得到║x║≥0，即║x║≥0在定義中不是必要的。）在A(yíng)X=B式中，當(dāng)A、B有微小擾動(dòng)時(shí)，參數(shù)估值Ｘ也有擾動(dòng)：（A＋ΔA）（Ｘ＋ΔＸ）＝B＋ΔB（1）AΔＸ＝ΔA（Ｘ＋ΔＸ）+ΔBΔＸ＝－A-1ΔA（Ｘ＋ΔＸ）＋A－１ΔB

2、將上式兩端取范數(shù)，并應(yīng)用向量范數(shù)的三角不等式║AB║│≤│A║B║；║A+B║≤║A║+║B║。

3、

4、ΔＸ

5、

6、≤

7、

8、A-1

9、

10、

11、

12、ΔA

13、

14、（

15、

16、Ｘ

17、

18、＋

19、

20、ΔＸ

21、

22、）＋

23、

24、A-1

25、

26、

27、ΔB

28、

29、把含有ΔＸ的項(xiàng)移到式子的左邊有：(1-

30、

31、A-1

32、

33、

34、

35、ΔA

36、

37、)

38、

39、ΔＸ

40、

41、≤

42、

43、A-1

44、

45、

46、

47、ΔA

48、

49、

50、

51、Ｘ

52、

53、+

54、

55、A-1

56、

57、

58、ΔB

59、

60、由于有1/

61、

62、Ｘ

63、

64、≤

65、

66、A

67、

68、/

69、

70、B

71、

72、將上式兩端同時(shí)乘以1/

73、

74、Ｘ

75、

76、得：(1-

77、

78、A-1

79、

80、

81、

82、ΔA

83、

84、)

85、

86、ΔＸ

87、

88、/

89、

90、X

91、

92、≤

93、

94、A-1

95、

96、

97、

98、ΔA

99、

100、+

101、

102、A-1

103、

104、

105、

106、ΔB

107、

108、A

109、

110、/

111、

112、B

113、

114、;設(shè)K=

115、

116、A

117、

118、

119、

120、

121、A-

122、

123、將上式整理的：（1-K

124、

125、ΔA

126、

127、/

128、

129、A

130、

131、）

132、

133、ΔＸ

134、

135、/

136、

137、X

138、

139、≤K(

140、

141、ΔA

142、

143、/

144、

145、A

146、

147、+

148、

149、ΔB

150、

151、/

152、

153、B

154、

155、);即有：

156、

157、ΔＸ

158、

159、/

160、

161、X

162、

163、≤k/（1-K

164、

165、ΔA

166、

167、/

168、

169、A

170、

171、）(

172、

173、ΔA

174、

175、/

176、

177、A

178、

179、+

180、

181、ΔB

182、

183、/

184、

185、B

186、

187、);問(wèn)題與實(shí)驗(yàn)1:試從幾何的角度解釋矩陣出現(xiàn)病態(tài)的原因，并用‘有說(shuō)服力’的例子來(lái)支持你的觀(guān)點(diǎn)；線(xiàn)性方程組解的敏感性的幾何解釋(2x2矩陣)線(xiàn)性方程組求解：兩直線(xiàn)求交點(diǎn)下面兩圖分別反映了良態(tài)問(wèn)題和病態(tài)問(wèn)題兩種情況。良態(tài)情況病態(tài)情況由圖像可以看出當(dāng)兩條直線(xiàn)的夾角較大時(shí)其精確解與近似解距離較?。ㄆ渲袃蓷l直線(xiàn)的

188、交點(diǎn)是其精確解）當(dāng)兩條直線(xiàn)的夾角較小時(shí)其精確解與近似解距離較大。虛線(xiàn)為直線(xiàn)的系數(shù)產(chǎn)生微小的擾動(dòng)時(shí)的直線(xiàn)。下面我們用兩個(gè)例子說(shuō)明：例設(shè)方程組，即，它的精確解為.A=[2,6;2,6.00001;]B=[8;8.00001]C=double(AB)cond(A)norm(A)A=2.00006.00002.00006.0000B=8.00008.0000C=11ans=4.0000e+006ans=8.9443下面我們來(lái)求上面兩條直線(xiàn)的夾角：計(jì)算直線(xiàn)夾角根據(jù)給定的節(jié)點(diǎn)，計(jì)算夾角信息，示意圖如下。已知點(diǎn)X1(x1,y1)、點(diǎn)X2(x2,y2)、點(diǎn)X3(x3,y3)

189、，計(jì)算直線(xiàn)由點(diǎn)X2，X1與X2，X3的夾角信息。根據(jù)向量?jī)?nèi)積，得到計(jì)算公式為：theta1=acosd(dot([x1-x2,y1-y2],[x3-x2,y3-y2])/(norm([x1-x2,y1-y2])*norm([x1-x2,y3-y2])));其中，dot([x1-x2,y1-y2],[x3-x2,y3-y2])為計(jì)算內(nèi)積，norm([x1-x2,y1-y2])為計(jì)算向量長(zhǎng)度，acosd為計(jì)算以度為單位的夾角信息。由這個(gè)公式計(jì)算這兩條直線(xiàn)的夾角：theta1=acosd(dot([2,6],[2,6.00001])/(norm([2,6])*nor

190、m([2,6.00001])))theta1=2.8649e-005它的圖像是X1=[0.9:0.0001:1.1];y=-1/3*X1+4/3;z=-2/6.00001*X1+8.00001/6.00001;subplot(1,2,1)holdonplot(X1,y,'b')plot(X1,z,'g')X2=[9.9:0.0001:10.1];n=-1/3*X2+4/3;m=-2/5.99999*X2+8.00002/5.99999;subplot(1,2,2)holdonplot(X2,n,'r')plot(X2,m,'g')現(xiàn)在考慮系數(shù)矩陣和右端項(xiàng)的微小

191、變化對(duì)方程組解的影響，即考察方程組，其解變?yōu)?A=[2,6;2,5.99999;]B=[8;8.00002]C=double(AB)cond(A)norm(A)A=2.00006.00002.00006.0000B=8.00008.0000C=10-2ans=4.0000e+006ans=8.9443.同樣我們來(lái)計(jì)算這兩條直線(xiàn)產(chǎn)生夾角：theta1=acosd(dot([2,6],[2,5.99999])/(norm([2,6])*norm([2,5.99999])))theta1=2.8649e-005從上面的結(jié)果可以看出系數(shù)矩陣的條件數(shù)較大，病態(tài)較嚴(yán)重，

192、還可以看出對(duì)于系數(shù)矩陣微小的變化會(huì)對(duì)兩