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《幾何的角度解釋矩陣出現(xiàn)病態(tài)2》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、矩陣的范數(shù)范數(shù)的定義 若X是數(shù)域K上的線(xiàn)性空間,泛函║·║:X->R滿(mǎn)足: 1.正定性:║x║≥0,且║x║=0<=>x=0; 2.正齊次性:║AB║│≤│A║B║; 3.次可加性(三角不等式):║A+B║≤║A║+║B║?! ∧敲川U·║稱(chēng)為X上的一個(gè)范數(shù)。 ?。ㄗ⒁獾建Ux+y║≤║x║+║y║中如令y=-x,再利用║-x║=║x║可以得到║x║≥0,即║x║≥0在定義中不是必要的。)在A(yíng)X=B式中,當(dāng)A、B有微小擾動(dòng)時(shí),參數(shù)估值X也有擾動(dòng):(A+ΔA)(X+ΔX)=B+ΔB(1)AΔX=ΔA(X+ΔX)+ΔBΔX=-A-1ΔA(X+ΔX)+A-1ΔB
2、將上式兩端取范數(shù),并應(yīng)用向量范數(shù)的三角不等式║AB║│≤│A║B║;║A+B║≤║A║+║B║。
3、
4、ΔX
5、
6、≤
7、
8、A-1
9、
10、
11、
12、ΔA
13、
14、(
15、
16、X
17、
18、+
19、
20、ΔX
21、
22、)+
23、
24、A-1
25、
26、
27、ΔB
28、
29、把含有ΔX的項(xiàng)移到式子的左邊有:(1-
30、
31、A-1
32、
33、
34、
35、ΔA
36、
37、)
38、
39、ΔX
40、
41、≤
42、
43、A-1
44、
45、
46、
47、ΔA
48、
49、
50、
51、X
52、
53、+
54、
55、A-1
56、
57、
58、ΔB
59、
60、由于有1/
61、
62、X
63、
64、≤
65、
66、A
67、
68、/
69、
70、B
71、
72、將上式兩端同時(shí)乘以1/
73、
74、X
75、
76、得:(1-
77、
78、A-1
79、
80、
81、
82、ΔA
83、
84、)
85、
86、ΔX
87、
88、/
89、
90、X
91、
92、≤
93、
94、A-1
95、
96、
97、
98、ΔA
99、
100、+
101、
102、A-1
103、
104、
105、
106、ΔB
107、
108、A
109、
110、/
111、
112、B
113、
114、;設(shè)K=
115、
116、A
117、
118、
119、
120、
121、A-
122、
123、將上式整理的:(1-K
124、
125、ΔA
126、
127、/
128、
129、A
130、
131、)
132、
133、ΔX
134、
135、/
136、
137、X
138、
139、≤K(
140、
141、ΔA
142、
143、/
144、
145、A
146、
147、+
148、
149、ΔB
150、
151、/
152、
153、B
154、
155、);即有:
156、
157、ΔX
158、
159、/
160、
161、X
162、
163、≤k/(1-K
164、
165、ΔA
166、
167、/
168、
169、A
170、
171、)(
172、
173、ΔA
174、
175、/
176、
177、A
178、
179、+
180、
181、ΔB
182、
183、/
184、
185、B
186、
187、);問(wèn)題與實(shí)驗(yàn)1:試從幾何的角度解釋矩陣出現(xiàn)病態(tài)的原因,并用‘有說(shuō)服力’的例子來(lái)支持你的觀(guān)點(diǎn);線(xiàn)性方程組解的敏感性的幾何解釋(2x2矩陣)線(xiàn)性方程組求解:兩直線(xiàn)求交點(diǎn)下面兩圖分別反映了良態(tài)問(wèn)題和病態(tài)問(wèn)題兩種情況。良態(tài)情況病態(tài)情況由圖像可以看出當(dāng)兩條直線(xiàn)的夾角較大時(shí)其精確解與近似解距離較?。ㄆ渲袃蓷l直線(xiàn)的
188、交點(diǎn)是其精確解)當(dāng)兩條直線(xiàn)的夾角較小時(shí)其精確解與近似解距離較大。虛線(xiàn)為直線(xiàn)的系數(shù)產(chǎn)生微小的擾動(dòng)時(shí)的直線(xiàn)。下面我們用兩個(gè)例子說(shuō)明:例設(shè)方程組,即,它的精確解為.A=[2,6;2,6.00001;]B=[8;8.00001]C=double(AB)cond(A)norm(A)A=2.00006.00002.00006.0000B=8.00008.0000C=11ans=4.0000e+006ans=8.9443下面我們來(lái)求上面兩條直線(xiàn)的夾角:計(jì)算直線(xiàn)夾角根據(jù)給定的節(jié)點(diǎn),計(jì)算夾角信息,示意圖如下。已知點(diǎn)X1(x1,y1)、點(diǎn)X2(x2,y2)、點(diǎn)X3(x3,y3)
189、,計(jì)算直線(xiàn)由點(diǎn)X2,X1與X2,X3的夾角信息。根據(jù)向量?jī)?nèi)積,得到計(jì)算公式為:theta1=acosd(dot([x1-x2,y1-y2],[x3-x2,y3-y2])/(norm([x1-x2,y1-y2])*norm([x1-x2,y3-y2])));其中,dot([x1-x2,y1-y2],[x3-x2,y3-y2])為計(jì)算內(nèi)積,norm([x1-x2,y1-y2])為計(jì)算向量長(zhǎng)度,acosd為計(jì)算以度為單位的夾角信息。由這個(gè)公式計(jì)算這兩條直線(xiàn)的夾角:theta1=acosd(dot([2,6],[2,6.00001])/(norm([2,6])*nor
190、m([2,6.00001])))theta1=2.8649e-005它的圖像是X1=[0.9:0.0001:1.1];y=-1/3*X1+4/3;z=-2/6.00001*X1+8.00001/6.00001;subplot(1,2,1)holdonplot(X1,y,'b')plot(X1,z,'g')X2=[9.9:0.0001:10.1];n=-1/3*X2+4/3;m=-2/5.99999*X2+8.00002/5.99999;subplot(1,2,2)holdonplot(X2,n,'r')plot(X2,m,'g')現(xiàn)在考慮系數(shù)矩陣和右端項(xiàng)的微小
191、變化對(duì)方程組解的影響,即考察方程組,其解變?yōu)?A=[2,6;2,5.99999;]B=[8;8.00002]C=double(AB)cond(A)norm(A)A=2.00006.00002.00006.0000B=8.00008.0000C=10-2ans=4.0000e+006ans=8.9443.同樣我們來(lái)計(jì)算這兩條直線(xiàn)產(chǎn)生夾角:theta1=acosd(dot([2,6],[2,5.99999])/(norm([2,6])*norm([2,5.99999])))theta1=2.8649e-005從上面的結(jié)果可以看出系數(shù)矩陣的條件數(shù)較大,病態(tài)較嚴(yán)重,
192、還可以看出對(duì)于系數(shù)矩陣微小的變化會(huì)對(duì)兩