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《hilb病態(tài)矩陣》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、許多線性代數(shù)方程組理論上是可以理解的，但是實(shí)際計(jì)算中由于受到舍入誤差的影響無法得到精確解。此類問題成為病態(tài)問題。一、希爾伯特矩陣的來源及矩陣的正定性設(shè)f(x)∈C[0，1]，求n次多項(xiàng)式P(x)=a0+a1x+a2x2+……+anxn使得取最小值。其中，P(x)稱為函數(shù)f(x)的最佳平方逼近多項(xiàng)式。由極值必要條件，對中的變量求導(dǎo)數(shù)，得令其為零，得方程組令，將方程組寫為矩陣形式方程組的系數(shù)矩陣就是著名的Hilbert矩陣。多項(xiàng)式可表示為內(nèi)積形式所以積分，得由此可知，希爾伯特矩陣是對稱正定矩陣。二、希爾伯特矩陣的病態(tài)性希爾伯特矩陣是著名的病態(tài)矩陣。n階Hilbert矩陣為其條件數(shù)
2、Cond(Hn)如下表所示n23456Cond(Hn)1.9281e+0015.2406e+0021.5514e+0044.7661e+0051.4951e+007隨著n的增大，矩陣條件數(shù)迅速增加。猜測：希爾伯特矩陣條件數(shù)以指數(shù)規(guī)律增長。即，設(shè)矩陣階數(shù)為n，有Cond(Hn)≈exp(an+b)用數(shù)據(jù)擬合的方法驗(yàn)證。問題分析：由于選擇擬合函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，直接列出超定方程組將是非線性的方程組。為了便于計(jì)算，對表中的條件數(shù)做對數(shù)變換，問題轉(zhuǎn)化為線性擬合問題ln[Cond(Hn)]=an+b，(n=2，3，4，5，6)實(shí)際操作時使用MATLAB的多項(xiàng)式擬合命令。線性擬合圖形如下線性
3、函數(shù)的兩個系數(shù)分別為a=3.3935，b=–3.8811故指數(shù)擬合函數(shù)為：Cond(Hn)≈exp(3.3935n–3.8811)擬合函數(shù)的殘差向量為r1r2r3r4r59.9860e-001-2.0231e+001-6.8994e+002-5.7825e+0035.9012e+005MATLAB程序段如下C=[];fork=2:6H=hilb(k);%k階希爾伯特矩陣C=[C,cond(H)];endLC=log(C);n=2:6;P=polyfit(n,LC,1)plot(n,LC,'o',n,polyval(P,n))residure=C-exp(polyval(P,n
4、))三、希爾伯特矩陣方程組求解實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)1：CG法實(shí)驗(yàn)設(shè)E為n階全“1”列向量，令b=HnE，用共軛梯度法求解方程組Hnx=b并與MATLAB的反斜杠命令求解方程組的結(jié)果作對比。N迭代次數(shù)殘差平方和誤差MATLAB直接解誤差441.2094e-0086.3891e-0097.1987e-013641.1845e-0070.00553.7577e-010864.4100e-0090.00189.3203e-0071063.2342e-0080.00341.4717e-0041255.0641e-0070.00560.23851453.3218e-0070.007914.31121
5、657.0032e-0070.01028.2762實(shí)驗(yàn)程序：n=input('inputn=');E=ones(n,1);H=hilb(n);b=H*E;[x,Res,k]=cg(H,b);k,Resx1=Hb;error=norm(x-E,inf)error1=norm(x1-E,inf)function[sol,res,k]=CG(A,b)%CGmethod2009_10-27sol=zeros(size(b));r=b-A*sol;p=r;ro1=r'*r;k=0;while(ro1>1.0e-12)ro=ro1;Ap=A*p;alpha=ro/(Ap'*p);sol
6、=sol+alpha*p;r=r-alpha*Ap;ro1=r'*r;beta=ro1/ro;p=r+beta*p;k=k+1;endres=sqrt(ro1);實(shí)驗(yàn)2：Seidel迭代法N迭代次數(shù)相鄰兩次差誤差MATLAB直接解誤差497219.9939e-0091.0291e-0057.1987e-01361150451.0000e-0080.00593.7577e-01082125049.9999e-0090.00319.3203e-007103715571.0000e-0080.00421.4717e-004實(shí)驗(yàn)程序：?typehilblab00n=input('in
7、putn=');E=ones(n,1);H=hilb(n);b=H*E;x=zeros(n,1);err=1;k=0;whileerr>1.0e-8k=k+1;L=tril(H);xx=x+inv(L)*(b-H*x);err=norm(xx-x,inf);x=xx;endk,errerror=norm(x-E,inf)x1=Hb;error1=norm(x1-E,inf)實(shí)驗(yàn)問題：一、由于線性擬合所得殘差向量較大，用實(shí)驗(yàn)確定：選擇用幾次多項(xiàng)式擬合較好。二、設(shè)D是由Hn的對角線元素開方構(gòu)成的對角矩陣，
