7-6 泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)

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1、一冪級(jí)數(shù)—定理1如果冪級(jí)數(shù)的系數(shù)滿足條件

2、

3、則(1)當(dāng)00和R2>0,則=f(x)?g(x).的收斂半徑R?min{R1,R2}.2設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R>0,則在收斂區(qū)間(?R,R)內(nèi),其和函數(shù)S(x)是連續(xù)函數(shù).若級(jí)數(shù)在端點(diǎn)收斂,則S(x)在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù).3冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x)在收斂區(qū)間(?R,R)內(nèi)可導(dǎo),并可以逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,且求導(dǎo)后級(jí)數(shù)的收斂半徑不變.即f?(x)=x?(?R,R)4冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x)

4、在收斂區(qū)間(?R,R)內(nèi)可積,并可逐項(xiàng)求積分,且積分后級(jí)數(shù)的收斂半徑不變.x?(?R,R)即n=1(anxn)?注:常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)(1)(?1

5、x0點(diǎn)附近,用適當(dāng)?shù)母叽味囗?xiàng)式Pn(x)=a0+a1(x?x0)+a2(x?x0)2+···+an(x?x0)n?f(x)一、泰勒公式猜想2若有相同的切線3若彎曲方向相同近似程度越來(lái)越好n次多項(xiàng)式系數(shù)的確定1若在x0點(diǎn)相交Pn(x0)=f(x0)Pn?(x0)=f?(x0)Pn?(x0)=f?(x0)??????y=f(x)假設(shè)Pn(k)(x0)=f(k)(x0)y=Pn(x)xoyx0即有Pn(x)=a0+a1(x?x0)+a2(x?x0)2+···+an(x?x0)n假設(shè)Pn(k)(x0)=f(k)(x0)Pn(n)(x)=n!anPn?(x)=a1+2a2(x?x

6、0)+3a3(x?x0)2+···+nan(x?x0)n?1Pn?(x)=2a2+3?2a2(x?x0)+···+n?(n?1)?an(x?x0)n?2??????a0=f(x0),2a2=f?(x0),n!an=f(n)(x0),??????k=0,1,2,3,···,n令x=x0得a1=f?(x0),??????a0=f(x0),a1=f?(x0),k=0,1,2,3,···,n代入Pn(x)中得Pn(x)=f(x0)+f?(x0)(x?x0)+(x?x0)2+···+(x?x0)nPn(x)=a0+a1(x?x0)+a2(x?x0)2+···+an(x?x0)n稱(chēng)

7、為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒多項(xiàng)式.k=0,1,2,3,···,n稱(chēng)為泰勒系數(shù)f(x)=Pn(x)+o(x?x0)n.其中定理1(泰勒中值定理)若函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)的某鄰域UR(x0)內(nèi)具有直到n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則當(dāng)x取UR(x0)內(nèi)任何值時(shí),f(x)可按(x?x0)的方冪展開(kāi)為f(x)=f(x0)+f?(x0)(x?x0)+(?在x0與x之間)+Rn(x)公式(1)稱(chēng)為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒公式.(1)Rn(x)稱(chēng)為拉格朗日(Lagrange)余項(xiàng).泰勒系數(shù)k=0,1,2,···,n是唯一的.設(shè)f(x)=f(x0)+f?(x0)(x?x0)+k證由于f(x)在U

8、R(x0)內(nèi)具有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù),作輔助函數(shù)?(t)=f(x)?[f(t)+f?(t)(x?t)+?(x)=0=?(x0),不妨設(shè)x0x時(shí)同理可證,其中f(x)=f(0)+f?(0)x+1?當(dāng)x0=0時(shí),(?在0與x之間)或令?=?x,0

9、)的麥克勞林(Maclaurin)公式.2?f(x)?f(x0)+f?(x0)(x?x0)+其誤差為:Rn(x)解例1*求f(x)=ex在x=0的n階泰勒公式.因?yàn)閒(n)(x)=ex,n=1,2,3,???所以f(n)(0)=e0=1,n=1,2,3,???于是f(x)=ex在x=0的n階泰勒公式為:其中0