泰勒公式和泰勒級數(shù).pdf

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1、?n一冪級數(shù)—?an(x?x0)n?0?n?anxn?0二冪級數(shù)的收斂半徑?ann?1定理1如果冪級數(shù)?anx的系數(shù)滿足條件lim

2、

3、?ln??an?0n1則(1)當00和R2>0,則???nnn?(an?bn)x??anx??bnx=f(x)?g(x).n?0n?0n?0的收斂半徑R?min{R1,R2}.?n2設(shè)冪級數(shù)?anx的收斂半徑R>0,則在收斂區(qū)n?0間

4、(?R,R)內(nèi),其和函數(shù)S(x)是連續(xù)函數(shù).?n若級數(shù)?anx在端點收斂,則S(x)在端點單側(cè)連續(xù).n?0?n3冪級數(shù)?anx的和函數(shù)S(x)在收斂區(qū)間(?R,R)內(nèi)n?0可導,并可以逐項求導任意次,且求導后級數(shù)的收斂半徑不變.???即f?(x)=(?axn)???(axn)???naxn?1nnnn?0n?0n=1x?(?R,R)?n4冪級數(shù)?anx的和函數(shù)S(x)在收斂區(qū)間(?R,R)內(nèi)可n?0積,并可逐項求積分,且積分后級數(shù)的收斂半徑不變.??xxnx?aS(t)dt?(at)dt??atndtnn?1即??0?n?n??x.0n?0n?00

5、n?1n?0x?(?R,R)注:常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)?n1(1)?x?;n?01?x?n1(2)?(?x)?;n?01?x(?1

6、(x?x0)一次多項式f(x)=f(x0)+f?(x0)(x?x0)+o(x?x0)不足:1.精確度不高;2.誤差不能定量的估計.如何提高精度?需要解決的問題?如何估計誤差?希望:在x0點附近,用適當?shù)母叽味囗検絇n(x)=a0+a1(x?x0)+a2(x?x0)2+···+an(x?x0)n?f(x)n次多項式系數(shù)的確定猜想近似1若在x0點相交y程P(x)=f(x)度n00y=f(x)越2若有相同的切線來越Pn?(x0)=f?(x0)y=Pn(x)好3若彎曲方向相同P?(x)=f?(x)ox0xn00??????假設(shè)Pn(k)(x0)=f(k)(

7、x0)Pn(x)=a0+a1(x?x0)+a2(x?x0)2+···+an(x?x0)n假設(shè)Pn(k)(x0)=f(k)(x0)k=0,1,2,3,···,nPn?(x)=a1+2a2(x?x0)+3a3(x?x0)2+···+nan(x?x0)n?1Pn?(x)=2a2+3?2a2(x?x0)+···+n?(n?1)?an(x?x0)n?2??????P(n)(x)=n!ann令x=x0得a0=f(x0),即有a0=f(x0),a1=f?(x0),a1=f?(x0),f??(x)02a=f?(x),a?2022!????????????(n)f(

8、x)n!a=f(n)(x),a?0n0nn!Pn(x)=a0+a1(x?x0)+a2(x?x0)2+···+an(x?x0)n(k)f(x)0ak?k=0,1,2,3,···,nk!代入Pn(x)中得f??(x)P(x)=f(x)+f?(x)(x?x)+0(x?x)2+···n00002!(n)f(x)+(0x?x)n0n!稱為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒多項式.(k)f(x)0ak?k=0,1,2,3,···,n稱為泰勒系數(shù)k!f(x)=Pn(x)+o(x?x0)n.定理1(泰勒中值定理)若函數(shù)f(x)在x0點的某鄰域UR(x0)內(nèi)具有直到n+1階

9、連續(xù)導數(shù),則當x取UR(x0)內(nèi)任何值時,f(x)可按(x?x0)的方冪展開為f??(x0)2f(x)=f(x0)+f?(x0)(x?x0)+(x?x0)(n)2!f(x0)n???(x?x0)+Rn(x)(1)n!(n?1)f(?)n?1其中Rn(x)?(x?x0)(?在x0與x之間)(n?1)!公式(1)稱為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒公式.Rn(x)稱為拉格朗日(Lagrange)余項.(k)f(x)0泰勒系數(shù)a?k=0,1,2,···,n是唯一的.kk!證由于f(x)在UR(x0)內(nèi)具有n+1階連續(xù)導數(shù),f??(x0)2設(shè)f(x)=f(x)+

10、f?(x)(x?x)+(x?x)00002!(n)f(x0)nkn?1???(x?x0)?(x?x0)n!(n?1)!作輔