圓錐曲線的范圍、最值問(wèn)題

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1、圓錐曲線的最值、范圍問(wèn)題與圓錐曲線有關(guān)的范圍、最值問(wèn)題,各種題型都有,既有對(duì)圓錐曲線的性質(zhì)、曲線與方程關(guān)系的研究,又對(duì)最值范圍問(wèn)題有所青睞,它能綜合應(yīng)用函數(shù)、三角、不等式等有關(guān)知識(shí),緊緊抓住圓錐曲線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化,充分展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用,本文從下面幾個(gè)方面闡述該類題型的求解方法,以引起讀者注意．一、利用圓錐曲線定義求最值借助圓錐曲線定義將最值問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為易求、易解、易推理證明的問(wèn)題來(lái)處理．【例1】已知是橢圓內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn),是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求的最大值和最小值．【分析】很容易想到聯(lián)系三角形邊的關(guān)

2、系,無(wú)論三點(diǎn)是否共線,總有,故取不到等號(hào),利用橢圓定義合理轉(zhuǎn)化可以起到柳暗花明又一村的作用．【點(diǎn)評(píng)】涉及到橢圓焦點(diǎn)的題目,應(yīng)想到橢圓定義轉(zhuǎn)化條件,使得復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化．【小試牛刀】【2017屆四川雙流中學(xué)高三上學(xué)期必得分訓(xùn)練】已知為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和最小時(shí),點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【分析】根據(jù)拋物線的定義,點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離,所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線距離之和的最小值就是點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到拋物線焦點(diǎn)距離之和的最小值,因此當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),距離

3、之和取最小值.【解析】設(shè)到拋物線準(zhǔn)線的距離為,拋物線的焦點(diǎn)為,圓心為,則,故選A.二、單變量最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值建立目標(biāo)函數(shù)求解圓錐曲線的范圍、最值問(wèn)題,是常規(guī)方法,關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)淖兞繛樽宰兞浚纠?】已知橢圓C：的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,直線與以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心,以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.（1）求橢圓的方程.（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn),若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)和,且滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)的取值范圍.【分析】（1）由題意可得圓的方程為,圓心到直線的距離；根據(jù)橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)

4、端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,b=c,代入*式得,即可得到所求橢圓方程；（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線方程為,設(shè),將直線方程代入橢圓方程得：,根據(jù)得到；設(shè),應(yīng)用韋達(dá)定理.討論當(dāng)k=0,的情況,確定的不等式.【解析】（1）由題意：以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心,以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓的方程為,∴圓心到直線的距離*∵橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,b=c,代入*式得∴故所求橢圓方程為（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線方程為,設(shè)將直線方程代入橢圓方程得：∴∴設(shè),則………………8分當(dāng)k=0時(shí),直線l的方程為y=

5、0,此時(shí)t=0,成立,故,t=0符合題意.當(dāng)時(shí)得∴將上式代入橢圓方程得：整理得：由知所以【點(diǎn)評(píng)】確定橢圓方程需要兩個(gè)獨(dú)立條件,從題中挖掘關(guān)于的等量關(guān)系；直線和橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題,往往要善于利用韋達(dá)定理設(shè)而不求,利用點(diǎn)在橢圓上和向量式得,進(jìn)而求函數(shù)值域．【小試牛刀】【2017河南西平縣高級(jí)中學(xué)12月考】已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率為的橢圓過(guò)點(diǎn)．[來(lái)源:Z。xx。k.Com]（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線與該橢圓交于,兩點(diǎn),滿足直線,,的斜率依次成等比數(shù)列,求面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由

6、題意可設(shè)橢圓方程,則解得所以方程為．（2）由題意可知,直線的斜率存在且不為,故可設(shè)直線的方程為（）,,,由得,則,且,,故．因直線,,的斜率依次成等比數(shù)列,所以,即,又,所以,即．由于直線,的斜率存在,且,得且．設(shè)為點(diǎn)到直線的距離,則,所以的取值范圍為．三、二元變量最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值利用點(diǎn)在二次曲線上,將二元函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理．[來(lái)源:學(xué)

7、科

8、網(wǎng)]【例2】若點(diǎn)O、F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任一點(diǎn),則的最大值為【分析】設(shè)點(diǎn),利用平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示,將用變量表示,借助橢圓方程消元

9、,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問(wèn)題處理．【點(diǎn)評(píng)】注意利用“點(diǎn)在橢圓上”這個(gè)條件列方程．【小試牛刀】拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn),又已知點(diǎn),則的取值范圍是.【答案】【解析】由拋物線的定義可得,又,,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),于是,,,綜上所述的取值范圍是.四、雙參數(shù)最值問(wèn)題該類問(wèn)題往往有三種類型：①建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系和不等式關(guān)系,通過(guò)整體消元得到參數(shù)的取值范圍；②建立兩個(gè)參數(shù)的等量關(guān)系,通過(guò)分離參數(shù),借助一邊變量的范圍,確定另一個(gè)參數(shù)的取值范圍；③建立兩個(gè)參數(shù)的等量關(guān)系,通過(guò)選取一個(gè)參數(shù)為自變量,令一個(gè)變量為參

10、數(shù)（主元思想）,從而確定參數(shù)的取值范圍．【例3】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓：的離心率,且橢圓C上一點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離最大值為4,過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn),且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）,當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍.【分析】第一問(wèn),先利用