圓錐曲線的范圍、最值問題

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1、.圓錐曲線的最值、范圍問題與圓錐曲線有關(guān)的范圍、最值問題,各種題型都有,既有對圓錐曲線的性質(zhì)、曲線與方程關(guān)系的研究,又對最值范圍問題有所青睞,它能綜合應(yīng)用函數(shù)、三角、不等式等有關(guān)知識,緊緊抓住圓錐曲線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化,充分展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用,本文從下面幾個方面闡述該類題型的求解方法,以引起讀者注意．一、利用圓錐曲線定義求最值借助圓錐曲線定義將最值問題等價轉(zhuǎn)化為易求、易解、易推理證明的問題來處理．【例1】已知是橢圓內(nèi)的兩個點,是橢圓上的動點,求的最大值和最小值．【分析】很容易想到聯(lián)系三角形邊的關(guān)系,無論三

2、點是否共線,總有,故取不到等號,利用橢圓定義合理轉(zhuǎn)化可以起到柳暗花明又一村的作用．【點評】涉及到橢圓焦點的題目,應(yīng)想到橢圓定義轉(zhuǎn)化條件,使得復(fù)雜問題簡單化．【小試牛刀】【2017屆四川雙流中學(xué)高三上學(xué)期必得分訓(xùn)練】已知為拋物線上一個動點,為圓上一個動點,當(dāng)點到點的距離與點到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和最小時,點的橫坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【分析】根據(jù)拋物線的定義,點到拋物線的準(zhǔn)線的距離等于點到拋物線的焦點的距離,所以點到點的距離與點到準(zhǔn)線距離之和的最小值就是點到點的距離與到拋物線焦點距離之和的最小值,因此當(dāng)三點共線時,距離之和取最小值.【解析】

3、設(shè)到拋物線準(zhǔn)線的距離為,拋物線的焦點為,圓心為,則,故選A.....二、單變量最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值建立目標(biāo)函數(shù)求解圓錐曲線的范圍、最值問題,是常規(guī)方法,關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)淖兞繛樽宰兞浚纠?】已知橢圓C：的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形,直線與以橢圓C的右焦點為圓心,以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切.（1）求橢圓的方程.（2）設(shè)為橢圓上一點,若過點的直線與橢圓相交于不同的兩點和,且滿足(O為坐標(biāo)原點),求實數(shù)的取值范圍.【分析】（1）由題意可得圓的方程為,圓心到直線的距離；根據(jù)橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角

4、形,b=c,代入*式得,即可得到所求橢圓方程；（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線方程為,設(shè),將直線方程代入橢圓方程得：,根據(jù)得到；設(shè),應(yīng)用韋達(dá)定理.討論當(dāng)k=0,的情況,確定的不等式.【解析】（1）由題意：以橢圓C的右焦點為圓心,以橢圓的長半軸長為半徑的圓的方程為,∴圓心到直線的距離*∵橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形,b=c,代入*式得∴故所求橢圓方程為（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線方程為,設(shè)....將直線方程代入橢圓方程得：∴∴設(shè),則………………8分當(dāng)k=0時,直線l的方程為y=0,此時t=0,成立,故,t=

5、0符合題意.當(dāng)時得∴將上式代入橢圓方程得：整理得：由知所以【點評】確定橢圓方程需要兩個獨立條件,從題中挖掘關(guān)于的等量關(guān)系；直線和橢圓的位置關(guān)系問題,往往要善于利用韋達(dá)定理設(shè)而不求,利用點在橢圓上和向量式得,進(jìn)而求函數(shù)值域．【小試牛刀】【2017河南西平縣高級中學(xué)12月考】已知中心在原點,焦點在軸上,離心率為的橢圓過點．[來源:Z。xx。k.Com]....（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不過原點的直線與該橢圓交于,兩點,滿足直線,,的斜率依次成等比數(shù)列,求面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由題意可設(shè)橢圓方程,則解得所以方程為

6、．（2）由題意可知,直線的斜率存在且不為,故可設(shè)直線的方程為（）,,,由得,則,且,,故．因直線,,的斜率依次成等比數(shù)列,所以,即,又,所以,即．....由于直線,的斜率存在,且,得且．設(shè)為點到直線的距離,則,所以的取值范圍為．三、二元變量最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值利用點在二次曲線上,將二元函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題來處理．[來源:學(xué)

7、科

8、網(wǎng)]【例2】若點O、F分別為橢圓的中心和左焦點,點P為橢圓上的任一點,則的最大值為【分析】設(shè)點,利用平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示,將用變量表示,借助橢圓方程消元,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題處理．【點評

9、】注意利用“點在橢圓上”這個條件列方程．【小試牛刀】拋物線的焦點為,點為該拋物線上的動點,又已知點,則的取值范圍是.【答案】【解析】由拋物線的定義可得,又,,當(dāng)時,；當(dāng)時,,,當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號,于是,....,,綜上所述的取值范圍是.四、雙參數(shù)最值問題該類問題往往有三種類型：①建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系和不等式關(guān)系,通過整體消元得到參數(shù)的取值范圍；②建立兩個參數(shù)的等量關(guān)系,通過分離參數(shù),借助一邊變量的范圍,確定另一個參數(shù)的取值范圍；③建立兩個參數(shù)的等量關(guān)系,通過選取一個參數(shù)為自變量,令一個變量為參數(shù)（主元思想）,從而確定參數(shù)的取值范圍．【

10、例3】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓：的離心率,且橢圓C上一點到點Q的距離最大值為4,過點的直線交橢圓于點（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上一點,且滿足（O為坐標(biāo)原點）,當(dāng)時