淺談極坐標(biāo)法在平面幾何中的應(yīng)用

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1、淺談極坐標(biāo)法在平面幾何中的應(yīng)用借助坐標(biāo)系，運(yùn)用代數(shù)知識(shí)來研究幾何圖形的方法叫做解析法。極坐標(biāo)法是除直角坐標(biāo)法以外的另一種常用的解析法。對(duì)于平面圖形，可選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系求得其解，也可選取適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，建立點(diǎn)的極坐標(biāo)或線的極坐標(biāo)方程，運(yùn)用極坐標(biāo)知識(shí)、代數(shù)知識(shí)、三角知識(shí)等進(jìn)行運(yùn)算求得結(jié)論，這種解題方法就是極坐標(biāo)法。下面就來談?wù)剺O坐標(biāo)法解平幾題：　　一、極坐標(biāo)法解題中怎樣選取坐標(biāo)系　　選取適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，是運(yùn)用極坐標(biāo)系解題的關(guān)鍵。為了便于表達(dá)和計(jì)算，通常應(yīng)選取最簡(jiǎn)便的坐標(biāo)系。選取什么樣的坐標(biāo)系最合適，這沒有固定的規(guī)律，但應(yīng)盡量利用所論圖形的特點(diǎn)和已知條件，做

2、到：1.盡量使已知條件的表達(dá)形式簡(jiǎn)單；2.使運(yùn)算過程最簡(jiǎn)單；3.使所要求的結(jié)論易于表示，并且?guī)缀我饬x明顯?！　⊥瑫r(shí)滿足上面三點(diǎn)是比較困難的，往往要作出某種含量的權(quán)衡。一般說來，表示所論圖形中有關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)需用的字母數(shù)越少，就可使過該點(diǎn)的曲線方程越簡(jiǎn)明、運(yùn)算過程越簡(jiǎn)單；反過來，又可用表示所設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)需要的字母數(shù)是否盡量少來作為衡量所取坐標(biāo)系是否簡(jiǎn)便的標(biāo)志。例如，選取所論圖形中的某個(gè)特殊點(diǎn)為極點(diǎn)，就可使過該點(diǎn)的曲線方程中不含常數(shù)項(xiàng)；選取所論圖形中的某一點(diǎn)在極軸中，就能使該點(diǎn)的極角坐標(biāo)為0；選取所論圖形中的某一條直線為極軸，就可使該直線上點(diǎn)的極角坐標(biāo)簡(jiǎn)化?！　∮脴O坐標(biāo)

3、法解答三角形中的有關(guān)問題時(shí)，一般選三角形的一頂點(diǎn)為極點(diǎn)，過頂點(diǎn)的某一射線為極軸，這樣可使三角形一頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），另兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為（ρ，θ）的形式（一般ρ、θ均為已知）。并且一般選過該頂點(diǎn)的一邊或過該頂點(diǎn)的內(nèi)角平分線為極軸。　　二、極坐標(biāo)法解題的步驟　　運(yùn)用極坐標(biāo)法解平幾題時(shí)，一般按下列步驟進(jìn)行：　　1.選取坐標(biāo)系。根據(jù)圖形的特點(diǎn)及已知條件，選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)作為極點(diǎn)，選取適當(dāng)?shù)纳渚€作為極軸，這是運(yùn)用極坐標(biāo)法解題最關(guān)鍵的一步。坐標(biāo)系的選取直接影響著解題過程的繁簡(jiǎn)?！　?.確定已知點(diǎn)的坐標(biāo)或線的方程。根據(jù)選定的坐標(biāo)系，確定已知點(diǎn)的坐標(biāo)，建立已知直線、

4、曲線的方程。為此，必須引入一些參量，例如線段的長(zhǎng)度等。　　3.進(jìn)行運(yùn)算，求得結(jié)構(gòu)。根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)、線的方程，應(yīng)用極坐標(biāo)的有關(guān)知識(shí)及代數(shù)、三角知識(shí)進(jìn)行數(shù)、式的計(jì)算和變動(dòng)，求出需求的結(jié)果。　　4.討論結(jié)構(gòu)，作出結(jié)論。求出需要的結(jié)果后對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析、討論，再賦予它幾何意義，從而完成對(duì)幾何命題的研究?！　∪⒂脴O坐標(biāo)法解平幾題舉例　　1.證明線段的復(fù)雜比例式　　例：在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，BC=CD。　　求證：AC2=AB·AD+BC2?！　》治觯阂C明AC、AB、AD、BC間復(fù)雜的關(guān)系式，而這些線段通過A點(diǎn)或C點(diǎn)。因BC=CD，所以∠BAC=∠CAD，故選A為極

5、點(diǎn)、AC所在直線為極軸建坐標(biāo)系?！　∽C明：選如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)AB=ρ1、AC=ρ2、AD=ρ3、BC=CD=a，∠BAC=∠CAD=θ，則B、C、D的坐標(biāo)分別如圖所示：　　由距離公式有：　　a2=ρ12+ρ22-2ρ1ρ2cosθ（1）　　a2=ρ22+ρ32-2ρ2ρ3cosθ（2）　?。?）×ρ3-（2）×ρ1得：　　a2（ρ3-ρ31）=ρ1ρ3（ρ1-ρ3）+ρ22（ρ3-1）。當(dāng)ρ1≠ρ3時(shí)有a2=-ρ1ρ3+2ρ22，　　即ρ22=ρ1ρ3+a2∴AC2=AB·AD+BC2?！　‘?dāng)ρ1=ρ3時(shí)，即AB=AD時(shí)，此時(shí)AC為圓的直徑，顯然有AC

6、2=AB·AD+BC2?！　　郃C2=AB·AD+BC2。　　2.證明線段和問題　　例：半圓的直徑AB長(zhǎng)2r，半圓外的直線L與BA的延長(zhǎng)線垂直，垂足為T，AT=a（a<）。半圓上有相異兩點(diǎn)M、N，它們?cè)贚上的投影分別為P、Q，并且有MP=MA、NQ=NA?！　∏笞C：AM+AN=AB?！　》治觯阂C明AM+AN=AB，AM、AN、AB三線段都通過點(diǎn)A，因此本題可選A為極點(diǎn)，AB所在直線為極軸?！　∽C明：如圖，建立以A為極點(diǎn)、AB所在直線為極軸的極坐標(biāo)系?！　≡O(shè)M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為M（ρ1，θ1）、N（ρ2，θ2）（ρ1，ρ2>0，ρ1≠ρ2），則

7、MP=a+ρ1cosθ1，ρ2NQ=a+ρ2cosθ2，∴ρ1=a+ρ1cosθ1（1），∴ρ2=a+ρ2cosθ2（2）　　∵圓的方程為ρ=2rcosθ，∴cosθ1=，cosθ2=，代入（1）、（2）化簡(jiǎn)得ρ12-2rρ1+2ar=0（3），ρ22-2rρ2+2ar=0（4）。　　關(guān)于ρ1的方程和關(guān)于ρ2的方程形式相同，而ρ1≠ρ2，∴ρ1、ρ2是方程t2-2rt+2ar=0的兩借助坐標(biāo)系，運(yùn)用代數(shù)知識(shí)來研究幾何圖形的方法叫做解析法。極坐標(biāo)法是除直角坐標(biāo)法以外的另一種常用的解析法。對(duì)于平面圖形，可選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系求得其解，也可選取適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，建

8、立點(diǎn)的極坐標(biāo)或線的極坐標(biāo)方程，運(yùn)用極坐標(biāo)知識(shí)、代數(shù)知識(shí)、三角知識(shí)等