1-4導數(shù)與切線的斜率

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1、§微分主題1：導數(shù)的定義1.，若存在，則＝稱在可微分。2.在的導數(shù)也是圖形在點切線的斜率，切線方程式為。3.函數(shù)在的導數(shù)為＝，即a用變數(shù)x取代可以得到＝，稱為函數(shù)的導函數(shù)4.導函數(shù)的定義域是有定義且上面極限存在的所有x，導函數(shù)又稱為斜率函數(shù)，因在的取值是函數(shù)圖形在點切線的斜率。5.函數(shù)的導函數(shù)有下面的表示法：，，，，6.＝＝﹐其中?！晌⒎趾瘮?shù)：1.函數(shù)在可微分的意義是＝存在2.函數(shù)在開區(qū)間（a﹐b）可微分的意義是對任意c﹐a＜c＜b﹐f（x）在x＝c都可微分。3.若函數(shù)在可微分﹐則在是連續(xù)函數(shù)。【證】在可微分，故＝存

2、在，對，－＝＝．＝．0＝0﹐因此＝故在是連續(xù)函數(shù)?！B續(xù)函數(shù)並不一定可微分。１８※重要範例1.若,則在的導數(shù)為　　　　　.【解答】..2.試求在處的導數(shù).【解答】..隨堂練習.設,試求.【解答】.,則.3.若,且存在,試求,的值.【解答】,.存在,即在處連續(xù)則,,則,.１８4.若,而存在,則　　　　　,　　　　　.【解答】,.存在,則必為連續(xù),(1),(2),由(1)知,由(2)知,則,故,.隨堂練習.設函數(shù)的定義：,已知存在,則　　　　.【解答】.在可微分,則且,即,,則且,即,,故.5.設,若在實數(shù)上可微分,則數(shù)對

3、　　　　　.【解答】.在皆可微分,則在可微分且連續(xù),,則,,則,，故.１８隨堂練習.若,且存在,試求,的值.【解答】,.(1)存在,即.(2),則.6.設函數(shù)的定義為,試求的值.【解答】不存在.(1).(2).由(1)(2)得的值不存在.7.過曲線外一點,對曲線作切線,則切線斜率為　　　　　.【解答】或6.令切線為，與相切,則只有一解,即的判別式或6.隨堂練習.試求過拋物線外的點的切線方程式.【解答】,.令切點坐標，又,即切線斜率為,則切線方程式為，過代入方程式得或1,(1),切點,斜率,故切線為.(2),切點,斜率，

4、故切線為.１８8.通過雙曲線上一點的切線方程式為　　　　　.【解答】.令,,,,則通過P點的切線斜率是,故切線方程式為.9.設拋物線與直線相切於點,而且與直線相切,則數(shù)對　　　　　.【解答】.設,得,因在拋物線上,則……直線的斜率為,則……而直線與拋物線相切,,即恰一解,……由知,,代入得,,,故.隨堂練習.設,已知二曲線與在點處相切,則數(shù)對　　　　　.【解答】.二曲線與切於,則,,,且二曲線在上的切線斜率會相等,則,,即,故.１８10.設函數(shù)，則在處的導數(shù)　　　　　且切線方程式為　　　　　.【解答】25,.,則,,故

5、切線方程式為.11.試求平行於直線,且與函數(shù)相切的直線方程式.【解答】或.直線的斜率為,令,則,又,則或,當時,,當時,,故所求直線方程式為或.隨堂練習.已知函數(shù)圖形上某一點的切線斜率為5,試求切點的坐標.【解答】或.令,則,設切點為,則切線斜率為,解得或,(1)當時,,即切點坐標為.(2)當時,,即切點坐標為.１８主題2：導函數(shù)的運算1.若＝c是常數(shù)函數(shù)﹐則＝0。【證】＝＝＝0＝0。2.若＝mx＋k是一次函數(shù)﹐則＝m?！咀C】＝＝＝＝m。3.若且＝，則＝。【證】＝又＝＝＝＝＋0＋…＋0＋0＝。4.若與可微分﹐則＋的導函

6、數(shù)是＋，即〔＋〕＝＋?！咀C】〔＋〕＝｛〔＋〕－〔＋〕｝＝〔＋〕＝＋＝＋。5.若與可微分﹐則－的導函數(shù)是－即〔－〕＝－。6.若c是常數(shù)且可微分﹐則c的導函數(shù)是c，即＝c。１８7.若＝是一多項式，則＝。【證】多項式的導函數(shù)是出現(xiàn)在的單項式之導函數(shù)的和，但＝0﹐＝，＝，…，＝，＝?！鶅珊瘮?shù)乘積的導函數(shù)並不等於兩函數(shù)導函數(shù)的乘積?！玻场伲?.若與可微分﹐則〔．〕＝〔〕．＋．＝＋?！咀C】〔．〕＝＝＝＝．＋．＝〔〕．＋．＝＋?！晌⒎炙赃B續(xù)＝。9.若可微分且≠0﹐則＝－?！?；x≠0，＝－，?！咀C】＝〔－〕＝＝－?＝?＝－。※

7、兩函數(shù)商的導函數(shù)也不是各自導函數(shù)的商，即≠。１８10.若與可微分且≠0﹐則＝?！咀C】＝〔f（x）〕．＋．＝．＋．＝。１８※重要範例1.若多項式滿足及,則　　　　　.【解答】.,故.2.設為一函數(shù),且,則　　　　　.【解答】.,故所求.隨堂練習.設,則　　　　　.【解答】.,則,故所求.１８隨堂練習.多項式滿足,,則(1)　　　　　.(2)　　　　　.【解答】(1)9.(2)11.(1).(2).3.若,則　　　　　.【解答】3.（因為）.隨堂練習.設,則　　　　　.【解答】.（因為）.１８4.已知函數(shù)滿足,,則　　　　

8、　.【解答】6.,則令且,,故.5..若,則　　　　　.【解答】..１８6.設,試求的值.【解答】不存在.,但當,,當,,故不存在.7.設可被整除,試求的值.【解答】.,則,且,又,則,,故.隨堂練習.設可被整除,試求,,的值.【解答】,,.,則,又,　,則,解得,,.１８8.設,試求.【解答】.,則.隨堂練習.設,試求.【解答】