初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題

初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何問題

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時(shí)間:2018-10-21

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1、中考數(shù)學(xué)專題動(dòng)態(tài)幾何問題第一部分真題精講【例1】如圖,在梯形中,,,,,梯形的高為.動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(秒).(1)當(dāng)時(shí),求的值;(2)試探究:為何值時(shí),為等腰三角形.【思路分析1】本題作為密云卷壓軸題,自然有一定難度,題目中出現(xiàn)了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),很多同學(xué)看到可能就會(huì)無從下手。但是解決動(dòng)點(diǎn)問題,首先就是要找誰在動(dòng),誰沒在動(dòng),通過分析動(dòng)態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關(guān)系求解。對于大多數(shù)題目來說,都有一個(gè)由動(dòng)轉(zhuǎn)靜的瞬間,就本題而言,M,N是在動(dòng),意味

2、著BM,MC以及DN,NC都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn),和這些動(dòng)態(tài)的條件密切相關(guān)的條件DC,BC長度都是給定的,而且動(dòng)態(tài)條件之間也是有關(guān)系的。所以當(dāng)題中設(shè)定MN//AB時(shí),就變成了一個(gè)靜止問題。由此,從這些條件出發(fā),列出方程,自然得出結(jié)果?!窘馕觥拷猓海?)由題意知,當(dāng)、運(yùn)動(dòng)到秒時(shí),如圖①,過作交于點(diǎn),則四邊形是平行四邊形.∵,.∴.(根據(jù)第一講我們說梯形內(nèi)輔助線的常用做法,成功將MN放在三角形內(nèi),將動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化成平行時(shí)候的靜態(tài)問題)∴.(這個(gè)比例關(guān)系就是將靜態(tài)與動(dòng)態(tài)聯(lián)系起來的關(guān)鍵)∴.解得.【思路分析2】第二問失分也是最嚴(yán)重的,很多同學(xué)看到

3、等腰三角形,理所當(dāng)然以為是MN=NC即可,于是就漏掉了MN=MC,MC=CN這兩種情況。在中考中如果在動(dòng)態(tài)問題當(dāng)中碰見等腰三角形,一定不要忘記分類討論的思想,兩腰一底一個(gè)都不能少。具體分類以后,就成為了較為簡單的解三角形問題,于是可以輕松求解【解析】(2)分三種情況討論:①當(dāng)時(shí),如圖②作交于,則有即.(利用等腰三角形底邊高也是底邊中線的性質(zhì))∵,∴,∴,解得.②當(dāng)時(shí),如圖③,過作于H.則,∴.∴.③當(dāng)時(shí),則..綜上所述,當(dāng)、或時(shí),為等腰三角形.【例2】在△ABC中,∠ACB=45o.點(diǎn)D(與點(diǎn)B、C不重合)為射線BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,以

4、AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.(1)如果AB=AC.如圖①,且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng).試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.(2)如果AB≠AC,如圖②,且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng).(1)中結(jié)論是否成立,為什么?(3)若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點(diǎn)P,設(shè)AC=,,CD=,求線段CP的長.(用含的式子表示)【思路分析1】本題和上題有所不同,上一題會(huì)給出一個(gè)條件使得動(dòng)點(diǎn)靜止,而本題并未給出那個(gè)“靜止點(diǎn)”,所以需要我們?nèi)シ治鲇蒁運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的變化圖形當(dāng)中,什么條件是不動(dòng)的。由題我們發(fā)現(xiàn),正方形中四條邊

5、的垂直關(guān)系是不動(dòng)的,于是利用角度的互余關(guān)系進(jìn)行傳遞,就可以得解?!窘馕觥浚海?)結(jié)論:CF與BD位置關(guān)系是垂直;證明如下:AB=AC,∠ACB=45o,∴∠ABC=45o.由正方形ADEF得AD=AF,∵∠DAF=∠BAC=90o,∴∠DAB=∠FAC,∴△DAB≌△FAC,∴∠ACF=∠ABD.∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90o.即CF⊥BD.【思路分析2】這一問是典型的從特殊到一般的問法,那么思路很簡單,就是從一般中構(gòu)筑一個(gè)特殊的條件就行,于是我們和上題一樣找AC的垂線,就可以變成第一問的條件,然后一樣求解。(2)CF⊥BD.(1

6、)中結(jié)論成立.理由是:過點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G,∴AC=AG可證:△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45o∠BCF=∠ACB+∠ACF=90o.即CF⊥BD【思路分析3】這一問有點(diǎn)棘手,D在BC之間運(yùn)動(dòng)和它在BC延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置是不一樣的,所以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是4+X還是4-X。分類討論之后利用相似三角形的比例關(guān)系即可求出CP.(3)過點(diǎn)A作AQ⊥BC交CB的延長線于點(diǎn)Q,①點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),∵∠BCA=45o,可求出AQ=CQ=4.∴DQ=4-x,易證△AQD∽△DCP,∴,∴,.②點(diǎn)D在線段B

7、C延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí),∵∠BCA=45o,可求出AQ=CQ=4,∴DQ=4+x.過A作交CB延長線于點(diǎn)G,則.CF⊥BD,△AQD∽△DCP,∴,∴,.【例3】已知如圖,在梯形中,點(diǎn)是的中點(diǎn),是等邊三角形.(1)求證:梯形是等腰梯形;(2)動(dòng)點(diǎn)、分別在線段和上運(yùn)動(dòng),且保持不變.設(shè)求與的函數(shù)關(guān)系式;ADCBPMQ60°(3)在(2)中,當(dāng)取最小值時(shí),判斷的形狀,并說明理由.【思路分析1】本題有一點(diǎn)綜合題的意味,但是對二次函數(shù)要求不算太高,重點(diǎn)還是在考察幾何方面。第一問純靜態(tài)問題,自不必說,只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問和例1一樣是雙動(dòng)點(diǎn)

8、問題,所以就需要研究在P,Q運(yùn)動(dòng)過程中什么東西是不變的。題目給定∠MPQ=60°,這個(gè)度數(shù)的意義在哪里?其實(shí)就是將靜態(tài)的那個(gè)等邊三角形與動(dòng)態(tài)條件聯(lián)系了起來.因?yàn)樽罱K求兩條線段的關(guān)系,所以我們很

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