初中數(shù)學(xué)動態(tài)幾何問題

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1、中考數(shù)學(xué)專題動態(tài)幾何問題第一部分真題精講【例1】如圖，在梯形中，，，，，梯形的高為．動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動．設(shè)運動的時間為（秒）．（1）當(dāng)時，求的值；（2）試探究：為何值時，為等腰三角形．【思路分析1】本題作為密云卷壓軸題，自然有一定難度，題目中出現(xiàn)了兩個動點，很多同學(xué)看到可能就會無從下手。但是解決動點問題，首先就是要找誰在動，誰沒在動，通過分析動態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關(guān)系求解。對于大多數(shù)題目來說，都有一個由動轉(zhuǎn)靜的瞬間，就本題而言，M，N是在動，意味著BM,MC以及DN,N

2、C都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn)，和這些動態(tài)的條件密切相關(guān)的條件DC,BC長度都是給定的，而且動態(tài)條件之間也是有關(guān)系的。所以當(dāng)題中設(shè)定MN//AB時，就變成了一個靜止問題。由此，從這些條件出發(fā)，列出方程，自然得出結(jié)果。【解析】解：（1）由題意知，當(dāng)、運動到秒時，如圖①，過作交于點，則四邊形是平行四邊形．∵，．∴．（根據(jù)第一講我們說梯形內(nèi)輔助線的常用做法，成功將MN放在三角形內(nèi)，將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化成平行時候的靜態(tài)問題）∴．（這個比例關(guān)系就是將靜態(tài)與動態(tài)聯(lián)系起來的關(guān)鍵）∴．解得．【思路分析2】第二問失分也是最嚴(yán)重的，很多同學(xué)看到等腰三角形，理所當(dāng)然以為是MN=NC即可，于是就

3、漏掉了MN=MC,MC=CN這兩種情況。在中考中如果在動態(tài)問題當(dāng)中碰見等腰三角形，一定不要忘記分類討論的思想，兩腰一底一個都不能少。具體分類以后，就成為了較為簡單的解三角形問題，于是可以輕松求解【解析】（2）分三種情況討論：①當(dāng)時，如圖②作交于，則有即．（利用等腰三角形底邊高也是底邊中線的性質(zhì)）∵，∴，∴，解得．②當(dāng)時，如圖③，過作于H．則，∴．∴．③當(dāng)時，則．．綜上所述，當(dāng)、或時，為等腰三角形．【例2】在△ABC中，∠ACB=45o．點D（與點B、C不重合）為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．（1）如果AB=AC．如圖①，

4、且點D在線段BC上運動．試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）如果AB≠AC，如圖②，且點D在線段BC上運動．（1）中結(jié)論是否成立，為什么？（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P，設(shè)AC＝，，CD=，求線段CP的長．（用含的式子表示）【思路分析1】本題和上題有所不同，上一題會給出一個條件使得動點靜止，而本題并未給出那個“靜止點”，所以需要我們?nèi)シ治鲇蒁運動產(chǎn)生的變化圖形當(dāng)中，什么條件是不動的。由題我們發(fā)現(xiàn)，正方形中四條邊的垂直關(guān)系是不動的，于是利用角度的互余關(guān)系進行傳遞，就可以得解?！窘馕觥浚海?）結(jié)論：CF與BD

5、位置關(guān)系是垂直；證明如下：AB=AC，∠ACB=45o，∴∠ABC=45o．由正方形ADEF得AD=AF，∵∠DAF=∠BAC=90o，∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC，∴∠ACF=∠ABD．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90o．即CF⊥BD．【思路分析2】這一問是典型的從特殊到一般的問法，那么思路很簡單，就是從一般中構(gòu)筑一個特殊的條件就行，于是我們和上題一樣找AC的垂線，就可以變成第一問的條件，然后一樣求解。（2）CF⊥BD．(1)中結(jié)論成立．理由是：過點A作AG⊥AC交BC于點G，∴AC=AG可證：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45o∠

6、BCF=∠ACB+∠ACF=90o．即CF⊥BD【思路分析3】這一問有點棘手，D在BC之間運動和它在BC延長線上運動時的位置是不一樣的，所以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是4+X還是4-X。分類討論之后利用相似三角形的比例關(guān)系即可求出CP.（3）過點A作AQ⊥BC交CB的延長線于點Q，①點D在線段BC上運動時，∵∠BCA=45o，可求出AQ=CQ=4．∴DQ=4-x，易證△AQD∽△DCP，∴，∴，．②點D在線段BC延長線上運動時，∵∠BCA=45o，可求出AQ=CQ=4，∴DQ=4+x．過A作交CB延長線于點G，則．CF⊥BD，△AQD∽△DCP，∴，∴

7、，．【例3】已知如圖，在梯形中，點是的中點，是等邊三角形．（1）求證：梯形是等腰梯形；（2）動點、分別在線段和上運動，且保持不變．設(shè)求與的函數(shù)關(guān)系式；ADCBPMQ60°（3）在（2）中，當(dāng)取最小值時，判斷的形狀，并說明理由．【思路分析1】本題有一點綜合題的意味，但是對二次函數(shù)要求不算太高，重點還是在考察幾何方面。第一問純靜態(tài)問題，自不必說，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問和例1一樣是雙動點問題，所以就需要研究在P,Q運動過程中什么東西是不變的。題目給定∠MPQ=60°，這個度數(shù)的意義在哪里？其實就是將靜態(tài)的那個等邊三角形與動態(tài)條件聯(lián)系了起來.因為最終求兩

8、條線段的關(guān)系,所以我們很