8-4麥克斯韋-玻爾茲曼分布

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1、8－4麥克斯韋－玻爾茲曼分布引言：氣體分子處于無規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)之中，由于碰撞，每個(gè)分子的速度都在不斷地改變，所以在某一時(shí)刻，對(duì)某個(gè)分子來說，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整體而言，在一定條件下，分子的速率分布遵守一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律——?dú)怏w速率分布律。氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律最早是有麥克斯韋于1859年在概率論的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的，1877年玻耳茲曼由經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)中導(dǎo)出，1920年斯特恩從實(shí)驗(yàn)中證實(shí)了麥克斯韋分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。麥克斯韋（JamesClerkMaxwell1831——1

2、879)19世紀(jì)偉大的英國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。經(jīng)典電磁理論的奠基人，氣體動(dòng)理論的創(chuàng)始人之一。他提出了有旋電場(chǎng)和位移電流概念，建立了經(jīng)典電磁理論，預(yù)言了以光速傳播的電磁波的存在。1873年，他的《電磁學(xué)通論》問世，這是一本劃時(shí)代巨著，它與牛頓時(shí)代的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》并駕齊驅(qū)，它是人類探索電磁規(guī)律的一個(gè)里程碑。在氣體動(dòng)理論方面，他還提出氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。一、測(cè)定氣體分子速率的實(shí)驗(yàn)1、實(shí)驗(yàn)裝置O——蒸汽源S——分子束射出方向孔R(shí)——長(zhǎng)為l、刻有螺旋形細(xì)槽的鋁鋼滾筒D——檢測(cè)器，測(cè)定通過細(xì)槽

3、的分子射線強(qiáng)度2、實(shí)驗(yàn)原理當(dāng)圓盤以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，每轉(zhuǎn)動(dòng)一周，分子射線通過圓盤一次，由于分子的速率不一樣，分子通過圓盤的時(shí)間不一樣，只有速率滿足下式的分子才能通過S達(dá)到D3、實(shí)驗(yàn)結(jié)果分子數(shù)在總分子數(shù)中所占的比率與速率和速率間隔的大小有關(guān)；速率特別大和特別小的分子數(shù)的比率非常?。辉谀骋凰俾矢浇姆肿訑?shù)的比率最大；改變氣體的種類或氣體的溫度時(shí)，上述分布情況有所差別，但都具有上述特點(diǎn)。二、麥克斯韋氣體分子速率分布律速率分布函數(shù)的定義：一定量的氣體分子總數(shù)為N，dN表示速率分布在某區(qū)間v~v+dv內(nèi)的分子

4、數(shù)，dN/N表示分布在此區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。實(shí)驗(yàn)規(guī)律：dN/N是v的函數(shù)；當(dāng)速率區(qū)間足夠小時(shí)（宏觀小，微觀大），dN/N還應(yīng)與區(qū)間大小成正比。1、速率分布函數(shù)速率分布函數(shù)物理意義：速率在v附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率，或概率密度。表示速率分布在v→v+dv內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率表示速率分布在v1→v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率速率分布曲線歸一化條件2、麥克斯韋速率分布律在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時(shí)，分布在任一速率區(qū)間v~v+dv的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率

5、為m——分子的質(zhì)量T——熱力學(xué)溫度k——玻耳茲曼常量麥克斯韋速率分布函數(shù)曲線下面寬度為dv的小窄條面積等于分布在此速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率dN/N。面積=dN/N麥克斯韋速率分布曲線定義：與f(v)極大值相對(duì)應(yīng)的速率，稱為最概然速率。物理意義：若把整個(gè)速率范圍劃分為許多相等的小區(qū)間，則分布在vP所在區(qū)間的分子數(shù)比率最大。vP的值：三、三種統(tǒng)計(jì)速率1、最可幾速率2、平均速率定義：大量氣體分子速率的算術(shù)平均值叫做平均速率。計(jì)算：3、方均根速率定義：大量氣體分子速率的平方平均值的平方根叫做方均

6、根速率。計(jì)算：4、討論vp隨T升高而增大，隨m增大而減小。m2m1T1T2三種速率的大小順序?yàn)槿N速率的意義討論速率分布時(shí)——用最概然速率討論分子碰撞時(shí)——用平均速率討論分子平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)——用方均根速率都含有統(tǒng)計(jì)的平均意義，反映大量分子作熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。說明下列各量的物理意義：——分布在速率v附近v~v+dv速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)?！獑挝惑w積內(nèi)分子速率分布在速率v附近v~v+dv速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。解：——分布在速率v附近v~v+dv速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率?！植荚谟邢匏俾蕝^(qū)間v1

7、~v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。——分布在有限速率區(qū)間v1~v2內(nèi)的分子數(shù)?！植荚?～∞速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。（歸一化條件）——v2的平均值。麥克斯韋速度分布函數(shù)四、玻爾茲曼能量分布律問題：對(duì)于更一般的情形，如在外力場(chǎng)中的氣體分子的分布將如何？其指數(shù)僅包含分子運(yùn)動(dòng)動(dòng)能分子按速度的分布不受力場(chǎng)的影響，按空間位置的分布卻是不均勻的，依賴于分子所在力場(chǎng)的性質(zhì)。玻爾茲曼的推廣用εk+εp代替εk，用x、y、z、vx、vy、vz為軸構(gòu)成的六維空間中的體積元xdydzdvxdvydvz代替

8、速度空間的體積元dvxdvydvz玻爾茲曼能量分布律當(dāng)系統(tǒng)在力場(chǎng)中處于平衡態(tài)時(shí)，其中坐標(biāo)介于區(qū)間x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz內(nèi)，同時(shí)速度介于vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz內(nèi)的分子數(shù)為單位體積分子數(shù)nn0為在εp=0處，單位體積內(nèi)具有各種速度的分子總數(shù)。重力場(chǎng)中粒子按高度的分布(εp=mgh)重力場(chǎng)中，一方面是無規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)使氣體分子均勻分布于它們所能夠到達(dá)的空間。另一方面是重力要使氣體分子聚集到地面上。這兩種作用平衡時(shí)，氣體分子則在空間作非均