指對數(shù)運(yùn)算與指數(shù)對數(shù)函數(shù)專題

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1、指對數(shù)運(yùn)算及冪指對函數(shù)專題本專題重點(diǎn)：指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與底數(shù)的取值有關(guān)，在求解含有參數(shù)的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)問題時，常運(yùn)用劃歸思想，將復(fù)雜的問題化為較簡單的問題，應(yīng)注意分類討論、數(shù)形結(jié)合、類比、換元等數(shù)學(xué)思想和方法的靈活應(yīng)用。1．（1）計(jì)算：；（2）化簡：。解：（1）原式=；（2）原式=。點(diǎn)評：根式的化簡求值問題就是將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解，對化簡求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式保留；一般的進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算時，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)運(yùn)算，同時

2、兼顧運(yùn)算的順序。2．（1）已知，求的值解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴。點(diǎn)評：本題直接代入條件求解繁瑣，故應(yīng)先化簡變形，創(chuàng)造條件簡化運(yùn)算。對數(shù)運(yùn)算1．計(jì)算（1）；（2）；（3）解：（1）原式；（2）原式；（3）分子=；分母=；原式=。2．設(shè)、、為正數(shù)，且滿足（1）求證：；（2）若，，求、、的值。證明：（1）左邊；解：（2）由得，∴……………①由得………………………②由①②得……………………………………③由①得，代入得，∵，∴………………………………④由③、④解得，，從而。指數(shù)、對數(shù)方程1．(江西師大附中2009屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求a,b的值；（2

3、）若對任意的，不等式恒成立，求k的取值范圍.解（1）因?yàn)槭荝上的奇函數(shù)，所以從而有又由，解得（2）解法一：由（1）知由上式易知在R上為減函數(shù)，又因是奇函數(shù)，從而不等式等價于因是R上的減函數(shù)，由上式推得即對一切從而解法二：由（1）知又由題設(shè)條件得即整理得，因底數(shù)2>1，故上式對一切均成立，從而判別式2、設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點(diǎn)，則（B）A．B．C．D．【解析】，若函數(shù)在上有大于零的極值點(diǎn)，即有正根。當(dāng)有成立時,顯然有,此時，由我們馬上就能得到參數(shù)的范圍為.第三節(jié)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)2013.3中學(xué)數(shù)學(xué)若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則。已知當(dāng)時，有，則的大小關(guān)系是。已知，函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則的大

4、小關(guān)系是。若關(guān)于的方程有正根，求的取值范圍.若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是最小值的3倍，則.典例1已知，求實(shí)數(shù)取值范圍。分析：左右兩邊冪的形式中，底數(shù)不同，冪指數(shù)相等?？衫脙绾瘮?shù)是上的單調(diào)增函數(shù)的性質(zhì)得到實(shí)數(shù)的取值范圍。練習(xí)1、已知，求實(shí)數(shù)取值范圍。答案：注意取值范圍。答案：2、已知，求實(shí)數(shù)取值范圍。分析：冪函數(shù)在上單減，在上單減?；蚧蚬蕦?shí)數(shù)取值范圍。1、已知，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：考察冪函數(shù)和的圖像，得到實(shí)數(shù)的取值范圍是4、（05江西理10）已知實(shí)數(shù)a,b滿足等式下列五個關(guān)系式①0

5、B）A．1個B．2個C．3個D．4個【解答】均大于零時，要滿足等式，必有；均小于零時，要滿足等式，必有；時，顯然等式成立.因此不可能成立的關(guān)系式為③④，選B5、設(shè)（）A．0　B．1C．2D．3解：C；，。典例2函數(shù)f(x)=1+log2x與g(x)=2-x+1在同一直角坐標(biāo)系下的圖象大致是（C）練習(xí)Oxy1、函數(shù)互質(zhì)）圖像如圖所示，則（）A．均為奇數(shù)B．一奇一偶C．均為奇數(shù)D．一奇一偶解析：該題考察了冪函數(shù)的性質(zhì)，由于冪函數(shù)在第一象限的圖像趨勢表明函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時只需保證，即，有；同時函數(shù)只在第一象限有圖像，則函數(shù)的定義域?yàn)?，此時定為偶數(shù)，即為偶數(shù)，由于兩個數(shù)互質(zhì)，則定為奇數(shù)答案：選

6、項(xiàng)為B。2、（06陜西理4）設(shè)函數(shù)f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的圖象過點(diǎn)(2,1),其反函數(shù)的圖像過點(diǎn)(2,8),則a+b等于(C)A.6B.5C.4D.3解：反函數(shù)的圖像過點(diǎn)(2,8)，則原函數(shù)的圖像過點(diǎn)(8,2),故:故選C．另解：函數(shù)f(x)=loga(x+b)(a>0，a≠1)的圖象過點(diǎn)(2，1)，其反函數(shù)的圖象過點(diǎn)(2，8)，則，∴，或(舍)，b=1，∴a+b=4，選C．3、方程的解為，方程的解為，求的解。答案：4、（09遼寧理12）若滿足，滿足，則+=（C）【解析】：，，即，，作出，的圖像（如圖），與的圖像關(guān)于對稱，它們與的交點(diǎn)A、B的中點(diǎn)為與的交點(diǎn)C，，∴+

7、=。5、（09湖南理8）設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義.對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)取函數(shù)。若對任意的，恒有，則【D】A．K的最大值為2B．K的最小值為2C．K的最大值為1D．K的最小值為1解:由恒成立知,故K有最小值，可排除A,C,因此只需求f(x)的最大值。由直覺知所以時f(x)的最大值，代入原函數(shù)得知；或推理計(jì)算，又由得時，并且由知函數(shù)f(x)在處取得唯一的極大值，，，排除B,因此選D.6、（07山東理6）給出下列三個等式：，，，