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《淺議有關(guān)橢圓上動點最值問題求解》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學術(shù)論文-天天文庫。
1、淺議有關(guān)橢圓上動點最值問題求解在學習橢圓簡單幾何性質(zhì)的時候，大家都會學習到橢圓方程中的幾何意義，它們分別表示了橢圓長軸，短軸的端點到橢圓中心的距離.但很少有人注意到這也是有關(guān)橢上動點的最值性質(zhì)，它們表示了橢圓上動點到橢圓中心距離的最大值與最小值.從而，在解決有關(guān)橢圓上動點的最值問題時感到很困難.而如果我們在學習的時候能抓住這一性質(zhì)的內(nèi)涵，那么在解決有關(guān)橢圓上動點的最值問題時就顯得游刃有余.下面，我們就來看看常見的橢圓上動點的最值問題與這一性質(zhì)的聯(lián)系.一、橢圓上的動點與平面內(nèi)一定點距離的最值問題題1已知P是橢圓x24+y23=l上的任意一點，0是坐標原點，則ro的最大值是，最小
2、值是.解析由橢圓的簡單幾何性質(zhì)易得：P0的最大值是2,最小值是3.題2已知P是橢圓x24+y23=l上的任意一點，A（1，0）是平面內(nèi)一定點，求PA的最值.解析因為A是橢圓的右焦點，故當點P是橢圓的左頂點時，PA的最大值為3，當點P是橢圓的右頂點時，PA的最小值為1.題2將坐標原點變成了焦點，還是可以由橢圓的簡單幾何性質(zhì)易得PA的最值，那如果將這兩類特殊的點變成了橢圓坐標軸上的任意點呢？題3已知P是橢圓x24+y23=l上的任意一點，A(14,0)是平面內(nèi)一定點，求PA的最值.解析設P的坐標為(x，y)，則x24+y23=ly2=3(l-x24),所以PA2=(x-14)2+
3、y2=x2-12x+116+3(l_x24)二14x2-12x+4916二14(x_l)2+4516.因為_2彡x彡2，所以當x=-2時，PA取得最大值為94;當x=l時，PA取得最小值為354.題3將特殊點變成了非特殊點，此時沒有橢圓的幾何性質(zhì)可以使用，我們就應牢牢抓住P是橢圓上任意一點，而取得最值時的點P是橢圓上某個位置的點這一關(guān)系，先用坐標法表示出橢圓上任意的點到點A的距離，將此問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.以上3題將橢圓簡單幾何性質(zhì)中a，b的意義進行了簡單的變遷，在變遷的過程中比較完美地體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.如果我們能抓住這一變遷思想，那我們就能較為輕松地解決以下兩
4、類相關(guān)的最值問題.二、橢圓上的動點到直線距離的最值問題題4已知P(X，y)是橢圓x24+y23=l上的任意一點，求P到直線1:3x+4y=25的最值.解析一作與直線i平行的直線m:3x+4y=t（t類25），由3x+4y=t，x24+y23=l消去y得21x2_6tx+t2_48=0.由A=36t2-84（t2-48）=0得t=±221，直線m與直線1的距離是25±2215.所以P到直線h3x+4y=25距離的最大值是25+2215,最小值是25-2215.解析二令x=2cos0,y=3sin0,0則P到直線h3x+4y=25的距離d二I6cos一+43sin一-25
5、5=
6、
7、221sin（一+a）-25
8、5=25-221sin（0+a）5（其中sina=321，cosa=2321）.所以d的最大值為25+2215，最小值為25-2215.因此P到直線h3x+4y二25的最大值是25+2215，P到直線1:3x+4y=25的最小值是25-2215.題4將橢圓上動點到定點的距離最值問題轉(zhuǎn)變?yōu)榱藱E圓上的動點到定直線的距離最值問題.解析一從幾何法（把點到直線的距離轉(zhuǎn)化成兩平行線間的距離），解析二從代數(shù)法（三角換元）兩個不同的角度進行了分析與求解.題5已知P（x，y）是橢圓x24+y23=l上的任意一點，求3x+4y的最值.解析一令3x+4y=t，由3x+
9、4y=t，x24+y23=l消去y得：21x2_6tx+t2-48=0，A=36t2-84（t2-48）=0,得t二±221，所以3x+4y的最大值是221，3x+4y的最小值是-221.解析二令x=2cos0,y=3sin0,9GR，則3x+4y=6cos0+43sin0=221sin(0+a)(其中sina=321，cosa=2321).所以3x+4y的最大值是221，3x+4y的最小值是-221.此題是題4的變遷，是將題4中的定直線進一步變遷為動直線.題6已知P(x，y)是橢圓x24+y23=l上的任意一點，求yx+6的最值.解析yx+6的幾何意義是橢圓x24+y23=
10、l上的點P與定點(-6，0)連線的斜率.故本題求的是過定點(-6，0)且與橢圓x24+y23=l有公共點的直線斜率的最值.由題意可得，直線的斜率一定存在，設過定點(-6,0)且與橢圓x24+y23=l有公共點的直線方程為y=k(x+6)(kGR)，由y:k(x+6)，x24+y23=l消去y得(3+4k2)x2+48k2x+144k2_12=0.,A=(48k2)2-4(3+4k2)(144k2-12)彡0得-68
