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《透視跟橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫(kù)。
1、透視跟橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題1?涉及橢圓焦點(diǎn)的最值問(wèn)題例1已知橢圓的方程為+=1,Fl、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,1）,P為橢圓上的一點(diǎn)，求
2、PA
3、+
4、PF21的最大值和最小值.透視角度涉及橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的問(wèn)題（且所求式中距離系數(shù)的絕對(duì)值相等時(shí)），我們常常先運(yùn)用橢圓的第一定義，再通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想，借助絕對(duì)值三角不等式或三角形三邊的關(guān)系等知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.解TP為橢圓上的一點(diǎn)，依題意有
5、PF1
6、+
7、PF2
8、=6,即
9、PF2
10、=6-
11、PF1
12、,A
13、PA
14、+
15、PF2
16、=6+
17、PA
18、-
19、PF
20、1.易知點(diǎn)Fl的坐標(biāo)為（-1,0）.在AAPF1中，
21、
22、PA-
23、PF1
24、
25、<；
26、AF1
27、,可得
28、IPAHPFIIIW
29、AF1
30、=,當(dāng)A、P、Fl三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào).所以有6-W
31、PA
32、+
33、PF2
34、W6+.故所求
35、PA
36、+
37、PF2
38、的最大值為6+，最小值為6-.2.涉及橢圓準(zhǔn)線(xiàn)或離心率的最值問(wèn)題例2橢圓+=1（a>；b>；0）的右焦點(diǎn)為F,其右準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為A,在橢圓上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足線(xiàn)段AP的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)F,求離心率的最小值.透視角度首先利用中垂線(xiàn)定理得到
39、PF
40、與
41、FA
42、的等量關(guān)系，然
43、后考慮到離心率e二以及橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)方程x二，用a、c來(lái)表示
44、PF
45、與
46、FA
47、,最后通過(guò)不等關(guān)系，求出離心率的取值范圍，再取其最小值即可.解根據(jù)題意有
48、PFh
49、FA
50、,
51、FAh-c,
52、PF
53、Wa+c,即a2Wac+2c2,整理得2e2+e21,于是有(2e-l)(e+1)20?又O<；e<；1,所以54、PQ
55、的最值.透視角度目標(biāo)是求兩點(diǎn)間的距離的最值，即動(dòng)點(diǎn)(X,y)與定點(diǎn)P
56、(0,)的距離的最值，直接用兩點(diǎn)間的距離公式求出
57、PQ
58、的二元函數(shù)，再利用橢圓方程進(jìn)行消元(注意定義域)，然后用函數(shù)思想結(jié)合圖像求得
59、PQ
60、的取值范圍，從而求出最值.解由+y2二1，得x2二4(l-y2)?設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y),于是有
61、PQ
62、==(TWyWl).設(shè)f(y)二-3y2~3y+,對(duì)稱(chēng)軸y二-，f(1)=,f(-)=7,?.
63、PQ
64、E[,](如圖1).IPQImin二,
65、PQ
66、max二?2.橢圓上的點(diǎn)與直線(xiàn)的距離最值問(wèn)題例4在橢圓+=1上求一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到直線(xiàn)x+2y-10二0的距離最
67、短，并求出最短距離.透視角度解答此類(lèi)問(wèn)題可以從運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)用平移的思想來(lái)解決?當(dāng)平移后的直線(xiàn)與圓相切時(shí)，求出M,再用兩條平行線(xiàn)的距離公式求出最短距離.解設(shè)與橢圓相切、與x+2y-10=0平行的直線(xiàn)為x+2y+m=0.由4x2+9y2=36,x=-(2y+m),整理得25y2+16my+4m2-36=0.當(dāng)A=0時(shí)，有(16m)2-4X25(4m2-36)=0,解得m2=25.由圖2可知，m<；0,/.m=-5./.yM=-=,xM=..?.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，),d==.存在M(,)，使點(diǎn)M
68、到直線(xiàn)x+2y-10=0的距離最短，且最短距離為.2.與距離有關(guān)的面積最值問(wèn)題例5已知點(diǎn)A(1,)是離心率為的橢圓C：+=1(a>；b>；0)上的一點(diǎn)，斜率為的直線(xiàn)BD交橢圓于B、D兩點(diǎn)，且A、B.D三點(diǎn)不重合.(1)求橢圓的方程.(2)AABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.透視角度根據(jù)離心率與a、b、c的關(guān)系，可將方程中的a、b用c代替，再代入定點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可求得橢圓的方程?聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，用弦長(zhǎng)公式求出BD,再求出點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離d,并將其
69、作為AABD的高，接著利用均值不等式即可求出面積的最大值?(繪圖時(shí)應(yīng)注意焦點(diǎn)在橢圓的y軸上)解(1)依題意有e二=，則a二c,b2=a2-c2=c2.于是可得橢圓的方程為+=1.又點(diǎn)A(1,)在橢圓上，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上述橢圓的方程，得c2=2,于是有a=2,b=.故橢圓的方程為+=1.(2)設(shè)直線(xiàn)的方程為y=x+b.由y=x+b,2x2+y2=4,得4x2+2bx+b2-4=0.由△=-8b2+64>；0,解得-2<；b<；2.設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(xl,yl),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x2,y2),
70、則有xl+x2=-b,xlx2=.所以
71、BD
72、二?
73、xl-x2
74、=?=設(shè)d為點(diǎn)A到直線(xiàn)y=x+b的距離，則有d=.所以SAABD=-
75、BD
76、-d=?W?二，當(dāng)且僅當(dāng)b二±2丘(-2,2)時(shí)，AABD的面積最大，且最大值為?(作者系湖南瀏陽(yáng)市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)1201班學(xué)生)
