中考數學壓軸題(動點)

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1、`中考數學壓軸題總結（動點）（一）因動點產生的相似三角形問題例1，已知拋物線的方程C1：(m＞0)與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側．（1）若拋物線C1過點M(2,2)，求實數m的值；（2）在（1）的條件下，求△BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BH＋EH最小，求出點H的坐標；（4）在第四象限內，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．圖1思路點撥1．第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當H落在線段EC上時，BH＋EH最?。?．第（4）題的解

2、題策略是：先分兩種情況畫直線BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示點F的坐標．然后根據夾角相等，兩邊對應成比例列關于m的方程．滿分解答（1）將M(2,2)代入，得．解得m＝4．（2）當m＝4時，．所以C(4,0)，E(0,2)．所以S△BCE＝．```（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1，當H落在線段EC上時，BH＋EH最?。O對稱軸與x軸的交點為P，那么．因此．解得．所以點H的坐標為．（4）①如圖3，過點B作EC的平行線交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以當，即時，△BCE∽△FBC．設點F的

3、坐標為，由，得．解得x＝m＋2．所以F′(m＋2,0)．由，得．所以．由，得．整理，得0＝16．此方程無解．圖2圖3圖4②如圖4，作∠CBF＝45°交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以，即時，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．由，得．解得．```綜合①、②，符合題意的m為．例2，拋物線經過點A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三點．（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三

4、角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點D，使得△DCA的面積最大，求出點D的坐標．,圖1思路點撥1．已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數法求解析式時，設交點式比較簡便．2．數形結合，用解析式表示圖象上點的坐標，用點的坐標表示線段的長．3．按照兩條直角邊對應成比例，分兩種情況列方程．4．把△DCA可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于OA．滿分解答（1）因為拋物線與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點，設拋物線的解析式為，代入點C的坐標（0，－2），解得．所以拋物線的解析式為．```（2）設

5、點P的坐標為．①如圖2，當點P在x軸上方時，1＜x＜4，，．如果，那么．解得不合題意．如果，那么．解得．此時點P的坐標為（2，1）．②如圖3，當點P在點A的右側時，x＞4，，．解方程，得．此時點P的坐標為．解方程，得不合題意．③如圖4，當點P在點B的左側時，x＜1，，．解方程，得．此時點P的坐標為．解方程，得．此時點P與點O重合，不合題意．綜上所述，符合條件的點P的坐標為（2，1）或或．```圖2圖3圖4（3）如圖5，過點D作x軸的垂線交AC于E．直線AC的解析式為．設點D的橫坐標為m，那么點D的坐標為，點E的坐標為．所以．因此．當時，△DCA的面積最大，此時點D的坐

6、標為（2，1）．（二）因動點產生的等腰三角形問題例3，拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數關系式；（2）設點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；（3）在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．```圖1．思路點撥1．第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點P在線段BC上時△PAC的周長最?。?．第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性．滿分解答（1）因為拋物線與x軸交于A(－1,0)、

7、B(3,0)兩點，設y＝a(x＋1)(x－3)，代入點C(0,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以拋物線的函數關系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1．當點P落在線段BC上時，PA＋PC最小，△PAC的周長最?。O拋物線的對稱軸與x軸的交點為H．由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以點P的坐標為(1,2)．圖2（3）點M的坐標為(1,1)、(1,)、(1,)或(1,0)．考點伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設點M的坐標為(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝