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1、求極限的各種方法2011.11.12邱國祿1．約去零因子求極限例1：求極限【說明】表明無限接近，但，所以這一零因子可以約去?！窘狻?42．分子分母同除求極限例2：求極限【說明】型且分子分母都以多項(xiàng)式給出的極限,可通過分子分母同除來求?！窘狻俊咀ⅰ?1)一般分子分母同除的最高次方； (2)3．分子(母)有理化求極限例3：求極限【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式?！窘狻坷?：求極限7【解】【注】本題除了使用分子有理化方法外，及時(shí)分離極限式中的非零因子是解題的關(guān)鍵 4．應(yīng)用兩個(gè)重要極限求極限兩個(gè)重要極限是和，第一個(gè)重要極限過于簡單且可通過等價(jià)無窮小來實(shí)現(xiàn)。主
2、要考第二個(gè)重要極限。例5：求極限【說明】第二個(gè)重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出１，再湊，最后湊指數(shù)部分?！窘狻坷?：(1)；(2)已知，求。5．用等價(jià)無窮小量代換求極限【說明】(1)常見等價(jià)無窮小有：當(dāng)時(shí),,；(2)等價(jià)無窮小量代換,只能代換極限式中的因式；(3)此方法在各種求極限的方法中應(yīng)作為首選。例7：求極限【解】.例8：求極限7【解】6．用羅必塔法則求極限例9：求極限【說明】或型的極限,可通過羅必塔法則來求?！窘狻俊咀ⅰ吭S多變動(dòng)上顯的積分表示的極限，常用羅必塔法則求解例10：設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且，求極限【解】由于,于是====7．用對數(shù)恒等式求極限例11：極限【解
3、】==7【注】對于型未定式的極限，也可用公式=因?yàn)槔?2：求極限.【解1】原式【解2】原式8．利用Taylor公式求極限例13求極限.【解】,;.7例14求極限.【解】.9．?dāng)?shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解例15：極限【說明】這是形式的的數(shù)列極限，由于數(shù)列極限不能使用羅必塔法則，若直接求有一定難度，若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限，可通過7提供的方法結(jié)合羅必塔法則求解。【解】考慮輔助極限所以，10．n項(xiàng)和數(shù)列極限問題n項(xiàng)和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法(1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算;(2)利用兩邊夾法則求極限.例16：極限【說明】用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算,是把看成［
4、0,1］定積分。7【解】原式＝例17：極限【說明】(1)該題遇上一題類似，但是不能湊成的形式，因而用兩邊夾法則求解；(2)兩邊夾法則需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的。【解】因?yàn)椤 ∮帧 ∷浴 。剑?2．單調(diào)有界數(shù)列的極限問題例18：設(shè)數(shù)列滿足（Ⅰ）證明存在，并求該極限；（Ⅱ）計(jì)算.【分析】一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則來證明數(shù)列極限的存在.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，則.可推得 ，則數(shù)列有界.7于是 ，（因當(dāng)），則有，可見數(shù)列單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限存在.設(shè)，在兩邊令，得 ，解得，即.（Ⅱ） 因 ，由（Ⅰ）知該極
5、限為型，(使用了羅必塔法則)故 .7
