壓縮感知盲稀疏信號(hào)貪婪迭代重構(gòu)算法研究

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1、第一章緒論為N×1維：正交基Y={甲0：。={Y，，甲：，Y∥一，甲Ⅳ}是M×N維矩陣。由公式x=(J，甲。)=甲jJ能夠看出，原信號(hào)s的等價(jià)表示就是稀疏信號(hào)x。若稀疏信號(hào)工中大系數(shù)的元素個(gè)數(shù)很少，那么說(shuō)明信號(hào)s具有可壓縮性：若稀疏信號(hào)x的非零元素的個(gè)數(shù)只有k(k刪1個(gè)，則稱x為原信號(hào)5的七一稀疏表示，、王，為原信號(hào)J的稀疏基。此外，信號(hào)S還可使用冗余字典代替標(biāo)準(zhǔn)正交基進(jìn)行稀疏變換[zt．13】。(2)信號(hào)的編碼測(cè)量在cs理論中，測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)是信號(hào)實(shí)現(xiàn)高效恢復(fù)的關(guān)鍵之一。如果在觀測(cè)過(guò)程中，隨機(jī)投影后得到的觀測(cè)值打破了原信號(hào)S的信息結(jié)構(gòu)，那么就不可能完成信號(hào)s的重建?？紤]一般可壓縮信號(hào)的

2、重建問(wèn)題，即已知某一個(gè)測(cè)量矩陣m(①∈月m。Ⅳ，M《N)，信號(hào)S在該矩陣下的線性測(cè)量值(亦可看成在矩陣m下原信號(hào)J的線性投影)為y，即y=Os．Y∈∥蝴(1．2)由于信號(hào)S的維數(shù)Ⅳ遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y的維數(shù)M，故式(1．2)為不定方程，解向量有無(wú)窮個(gè)，難以重構(gòu)原始信號(hào)。但若信號(hào)J可壓縮，且為k一稀疏信號(hào)，則等式(1．2)可轉(zhuǎn)換為：Y=Os=①吼=0x(1．3)其中o=golf為MxN維的壓縮傳感矩陣，此時(shí)在滿足M≥k條件下，式(1．3)有解。Cand色s和Tao等人證明，若要從M個(gè)測(cè)量值中準(zhǔn)確地重建出k一稀疏信號(hào)工，觀測(cè)數(shù)目M(即y的維數(shù))要滿足條件M=o(KlIl(Ⅳ))，同時(shí)傳感矩陣。亦一定要

3、滿足約束等距性(RestrictedlsometeyProperty，RIP)條件【14】，其描述如公式(1．4)所示：(1一反)0硼：-<110rx眶≤(1+喀)0卅《覘∈R衍(1．4)這里x為k一稀疏信號(hào)，矩陣o，是由從傳感矩陣O里提取的r列(rc{1，2，．．．，Ⅳ}，IrI≤尼)向量組成，常數(shù)甌∈(o，1)稱作傳感矩陣@的七一有限等容常數(shù)。壓縮感知盲稀疏信號(hào)貪婪迭代重構(gòu)算法研究通常情況下，為了能夠精確地恢復(fù)出原k一稀疏信號(hào)x(其k個(gè)非零元素的位置未知)，其充分條件是傳感矩陣O必須滿足3七階約束等距性，即：(1-53。)㈣；-<110堪-<0+53。)㈣：，比∈Rm，五?！?o，1

4、)(1．5)由公式(1．4)、(1．5)來(lái)驗(yàn)證觀測(cè)矩陣是否滿足腳條件計(jì)算復(fù)雜度非常大，為此，Baraniuk在文獻(xiàn)【15]中給出了一種腳特性的等價(jià)表示，即稀疏變換基甲與觀測(cè)矩陣圣不相干，二者的相關(guān)性由式(1．6)定義：∥(西，甲)=maxl(辦，吩)I(1．6)這里蓯表示矩陣m的第k行，y，表示矩陣甲的第_，行。文獻(xiàn)[6，16]．【i明①為高斯隨機(jī)矩陣時(shí)，可使得O總能以比較高的概率滿足腳條件；另外，伯努利測(cè)量矩陣、局部傅里葉矩陣、一致球測(cè)量矩陣等亦能使得傳感矩陣@滿足腳特性【17】。本文選擇的測(cè)量矩陣是一個(gè)大小為M×N、服從Ⅳ(o，拗獨(dú)立分布的高斯隨機(jī)矩陣a綜上所述，設(shè)計(jì)觀測(cè)矩陣具備以下

5、三方面條件至關(guān)重要：(1)觀測(cè)矩陣各個(gè)列向量間互不相關(guān)；(2)觀測(cè)矩陣各個(gè)列向量必須滿足獨(dú)立隨機(jī)性；(3)稀疏度的解向量需要滿足最小正范數(shù)條件。(3)重構(gòu)算法重構(gòu)算法是CS理論其中一個(gè)核心內(nèi)容，旨在通過(guò)較少的觀測(cè)數(shù)據(jù)最大程度地重構(gòu)原始信號(hào)。Candes等人證明，通過(guò)求解最小，0范數(shù)問(wèn)題可由測(cè)量值Y準(zhǔn)確恢復(fù)出稀疏信號(hào)x[他】，求最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)模型如下：疊=argminbllos．1．OWx=y(1．7)由于M《N，因而式(1．7)是一個(gè)NP(Non—deterministicPolynomial)一hard問(wèn)題，必須窮舉x中非零值的c：種排列可能，求解特別復(fù)雜，無(wú)法在實(shí)際應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)，且抗

6、噪能力不佳。鑒于此，研究者提出了一系列計(jì)算次優(yōu)解的算法，如迭代閾值法119-201、最小fl-，-v。v-一’，、。[211、匹配追蹤類算法【221、組合算法及其各種改進(jìn)算法。第一章緒論1．2．2壓縮感知的應(yīng)用壓縮感知理論一經(jīng)提出，就引起了大量學(xué)者的極大興趣，作為--f-]新興的信號(hào)采樣理論，其應(yīng)用前景非常廣闊。近年來(lái)該理論的應(yīng)用已滲入到較多領(lǐng)域，包括壓縮成像[23】、模擬信息轉(zhuǎn)換124-251、生物傳感126】、信源編碼【27】等，并取得了一系列激動(dòng)人心的成果。(1)壓縮成像領(lǐng)域美國(guó)Rice大學(xué)研制的“單像素”壓縮數(shù)碼照相機(jī)利用的就是壓縮成像原理[2s1，該相機(jī)利用數(shù)字微鏡器件，直接獲

7、取M次的隨機(jī)測(cè)量值，較傳統(tǒng)數(shù)碼相機(jī)，前端用于采樣的傳感器數(shù)目大大減少，為使用低像素相機(jī)拍出高質(zhì)量圖像提供了可能。壓縮傳感技術(shù)還可用于雷達(dá)成像與醫(yī)學(xué)成像領(lǐng)域，Bhattacharya等在獲取合成孔徑雷達(dá)圖像的數(shù)據(jù)時(shí)采用了CS理論，從而解決了海量數(shù)據(jù)的采集與存儲(chǔ)問(wèn)題，使得衛(wèi)星圖像處理的代價(jià)顯著降低【29】。(2)模擬信息轉(zhuǎn)換對(duì)超帶寬信號(hào)的處理，Kriolos等設(shè)計(jì)的模擬，信息轉(zhuǎn)換器亦基于CS理論【30】；Laska等進(jìn)一步發(fā)展了基于隨機(jī)