完全平方數(shù)和完全平方式

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1、完全平方數(shù)和完全平方式！第三十一講完全平方數(shù)和完全平方式　設(shè)n是自然數(shù)，若存在自然數(shù)m，使得n=m2，則稱n是一個(gè)完全平方數(shù)(或平方數(shù))．常見的題型有：判斷一個(gè)數(shù)是否是完全平方數(shù)；證明一個(gè)數(shù)不是完全平方數(shù)；關(guān)于存在性問題和其他有關(guān)問題等．最常用的性質(zhì)有：　(1)任何一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字只能是0，1，4，5，6，9，個(gè)位數(shù)字是2，3，7，8的數(shù)一定不是平方數(shù)；　(2)個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字都是奇數(shù)的兩位以上的數(shù)一定不是完全平方數(shù)，個(gè)位數(shù)字為6，而十位數(shù)字為偶數(shù)的數(shù)，也一定不是完全平方數(shù)；　　(3)在相鄰兩個(gè)平方數(shù)之間的數(shù)一定不是平方數(shù)；　

2、(4)任何一個(gè)平方數(shù)必可表示成兩個(gè)數(shù)之差的形式；　(5)任何整數(shù)平方之后，只能是3n或3n+1的形式，從而知，形如3n+2的數(shù)絕不是平方數(shù)；任何整數(shù)平方之后只能是5n，5n+1，5n+4的形式，從而知5n+2或5n+3的數(shù)絕不是平方數(shù)；　(6)相鄰兩個(gè)整數(shù)之積不是完全平方數(shù)；　(7)如果自然數(shù)n不是完全平方數(shù)，那么它的所有正因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)；如果自然數(shù)n是完全平方數(shù)，那么它的所有正因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)；(8)偶數(shù)的平方一定能被4整除；奇數(shù)的平方被8除余1，且十位數(shù)字必是偶數(shù)．例題求解【例1】n是正整數(shù)，3n+1是完全平方數(shù)，證明：n+l是3

3、個(gè)完全平方數(shù)之和．思路點(diǎn)撥設(shè)3n+1=m2，顯然3卜m，因此，m=3k+1或m=3k+2(k是正整數(shù))．　若rn=3k+1，則．∴n+1=3k2+2k+1=k2+k2+(k+1)2．若m=3k+2，則∴n+1=3k2+4k+2=k2+(k+1)2+(k+1)2．　故n+1是3個(gè)完全平方數(shù)之和．【例2】一個(gè)正整數(shù)，如果加上100是一個(gè)平方數(shù)，如果加上168，則是另一個(gè)平方數(shù)，求這個(gè)正整數(shù)．思路點(diǎn)撥　引入?yún)?shù)，利用奇偶分析求解．設(shè)所求正整數(shù)為x，則x+100=m2----①x+168==n2-----②其中m，n都是正整數(shù)，②—①得n2—m

4、2=68，即（n—m）(n+m)=22×17．----③因n—m，n+m具有相同的奇偶性，由③知n—m，n+m都是偶數(shù)．注意到0<n—m<n+m，由③可得．解得n=18．代人②得x=156，即為所求．【例3】一個(gè)正整數(shù)若能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧數(shù)”，比如16=52—32，16就是一個(gè)“智慧數(shù)”．在正整數(shù)中從1開始數(shù)起，試問第1998個(gè)“智慧數(shù)”是哪個(gè)數(shù)?并請(qǐng)你說明理由．　　　思路點(diǎn)撥1不能表為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，所以1不是“智慧數(shù)”．對(duì)于大于1的奇正整數(shù)2k+1，有2k+1=(k+1)2－k2(k=

5、1，2，…)．所以大于1的奇正整數(shù)都是“智慧數(shù)”．　對(duì)于被4整除的偶數(shù)4k，有4k=(k+1)2—(k—1)2(k=2，3，…)．即大于4的被4整除的數(shù)都是“智慧數(shù)”，而4不能表示為兩個(gè)正整數(shù)平方差，所以4不是“智慧數(shù)”．　對(duì)于被4除余2的數(shù)4k+2(k=0，1，2，3，…)，設(shè)4k+2=x2—y2=(x+y)(x－y)，其中x，y為正整數(shù)，當(dāng)x，y奇偶性相同時(shí)，(x+y)(x－y)被4整除，而4k+2不被4整除；當(dāng)x，y奇偶性相異時(shí)，(x+y)(x－y)為奇數(shù)，而4k+2為偶數(shù)，總得矛盾．所以不存在自然數(shù)x，y使得x2—y2=4k+2

6、．即形如4k+2的數(shù)均不為“智慧數(shù)”．　因此，在正整數(shù)列中前四個(gè)正整數(shù)只有3為“智慧數(shù)”，此后，每連續(xù)四個(gè)數(shù)中有三個(gè)“智慧數(shù)”．　因?yàn)?998=(1+3×665)+2，4×(665+1)=2664，所以2664是第1996個(gè)“智慧數(shù)”，2665是第1997個(gè)“智慧數(shù)”，注意到2666不是“智慧數(shù)”，因此2667是第1998個(gè)“智慧數(shù)”，即第1998個(gè)“智慧數(shù)”是2667．【例4】(太原市競(jìng)賽題)已知：五位數(shù)滿足下列條件：(1)它的各位數(shù)字均不為零；(2)它是一個(gè)完全平方數(shù)；(3)它的萬位上的數(shù)字a是一個(gè)完全平方數(shù)，干位和百位上的數(shù)字順次

7、構(gòu)成的兩位數(shù)以及十位和個(gè)位上的數(shù)字順次構(gòu)成的兩位數(shù)也都是完全平方數(shù)．　試求出滿足上述條件的所有五位數(shù)．思路點(diǎn)撥設(shè)，且(一位數(shù))，(兩位數(shù))，(兩位數(shù))，則　　　①　由式①知　?、诒容^式①、式②得n2=2mt．因?yàn)閚2是2的倍數(shù)，故n也是2的倍數(shù)，所以，n2是4的倍數(shù)，且是完全平方數(shù)．故n2=16或36或64．當(dāng)n2=16時(shí)，得，則m=l，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合條件，舍去；故或41616．當(dāng)n2=36時(shí)，得．則m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合條件，舍去．故或93636．當(dāng)n2=64時(shí)，得．則m=1，2，4

8、，8，t=32，16，8，4都不合條件，舍去．因此，滿足條件的五位數(shù)只有4個(gè)：11664，41616，43681，93636．【例5】(2002年北京)能夠找到這樣的四個(gè)正整數(shù)，使得它們中任兩個(gè)數(shù)的積與20