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《初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)46完全平方數(shù)和完全平方式(1)_設(shè)計(jì)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)為（46）完全平方數(shù)和完全平方式一、內(nèi)容提要一定義1.如果一個(gè)數(shù)恰好是某個(gè)有理數(shù)的平方，那么這個(gè)數(shù)叫做完全平方數(shù).例如0，1，0.36，，121都是完全平方數(shù).在整數(shù)集合里，完全平方數(shù)，都是整數(shù)的平方.2.如果一個(gè)整式是另一個(gè)整式的平方，那么這個(gè)整式叫做完全平方式.如果沒有特別說明，完全平方式是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)研究的.例如：在有理數(shù)范圍 m2,(a+b－2)2,4x2－12x+9,144都是完全平方式.在實(shí)數(shù)范圍 ?。╝+）2,x2+2x+2,3也都是完全平方式.二.整數(shù)集合里，完全平方數(shù)
2、的性質(zhì)和判定1.整數(shù)的平方的末位數(shù)字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位數(shù)字為2，3，7，8的整數(shù)必不是平方數(shù).2.若n是完全平方數(shù)，且能被質(zhì)數(shù)p整除,則它也能被p2整除..若整數(shù)m能被q整除，但不能被q2整除,則m不是完全平方數(shù).例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方數(shù).又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方數(shù).三.完全平方式的性質(zhì)和判定 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)如果 ax2+bx+c(a≠0)是完全平方式，則b2－4ac=0且a>0；如果b2－4ac=0且a>0；則
3、ax2+bx+c(a≠0)是完全平方式. 在有理數(shù)范圍內(nèi)當(dāng)b2－4ac=0且a是有理數(shù)的平方時(shí)，ax2+bx+c是完全平方式.四.完全平方式和完全平方數(shù)的關(guān)系1.完全平方式（ax+b）2中當(dāng)a,b都是有理數(shù)時(shí),x取任何有理數(shù)，其值都是完全平方數(shù)；當(dāng)a,b中有一個(gè)無理數(shù)時(shí)，則x只有一些特殊值能使其值為完全平方數(shù).2.某些代數(shù)式雖不是完全平方式，但當(dāng)字母取特殊值時(shí)，其值可能是完全平方數(shù).例如：n2+9,當(dāng)n=4時(shí)，其值是完全平方數(shù).所以，完全平方式和完全平方數(shù)，既有聯(lián)系又有區(qū)別.五.完全平方數(shù)與一元二次方程的有理數(shù)根的
4、關(guān)系1.在整系數(shù)方程ax2+bx+c=0(a≠0)中①若b2－4ac是完全平方數(shù)，則方程有有理數(shù)根；②若方程有有理數(shù)根，則b2－4ac是完全平方數(shù).2.在整系數(shù)方程x2+px+q=0中①若p2－4q是整數(shù)的平方，則方程有兩個(gè)整數(shù)根；②若方程有兩個(gè)整數(shù)根，則p2－4q是整數(shù)的平方.二、例題例1.求證：五個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和不是完全平方數(shù).證明：設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)為m－2,m－1,m,m+1,m+2.其平方和為S.那么S＝（m－2）2＋（m－1）2＋m2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m2+2）.∵m2的個(gè)位數(shù)只能是0，1
5、，4，5，6，9∴m2+2的個(gè)位數(shù)只能是2，3，6，7，8，1∴m2+2不能被5整除.而5（m2+2）能被5整除，即S能被5整除，但不能被25整除.∴五個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和不是完全平方數(shù).例2m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，（m－1）x2+2mx+3m－2是完全平方式？解：根據(jù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)完全平方式的判定，得 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（m－1）x2+2mx+3m－2是完全平方式△=0，即（2m）2－4(m－1)(3m－2)=0.解這個(gè)方程，得m1=0.5,m2=2.解不等式 m－1>0，得m>1.即它們的公共解是 m=2.答：當(dāng)m=2時(shí)，（m－
6、1）x2+2mx+3m－2是完全平方式.例3.已知：(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求證：a=b=c.證明：把已知代數(shù)式整理成關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，得原式＝3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0,(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2=0.要使等式成立，必須且只需：解這個(gè)方程組，得a=b=c.例4.已知方程x2－5x+k=0有兩個(gè)整
7、數(shù)解，求k的非負(fù)整數(shù)解. 解：根據(jù)整系數(shù)簡(jiǎn)化的一元二次方程有兩個(gè)整數(shù)根時(shí)，△是完全平方數(shù).可設(shè)△=m2(m為整數(shù))，即（－5）2－4k=m2(m為整數(shù))，解得，k=.∵ k是非負(fù)整數(shù)，∴ 由25－m2≥0， 得 ， 即－5≤m≤5；由25－m2是4的倍數(shù)，得 m=±1,±3,±5.以m的公共解±1,±3,±5，分別代入k=.求得k=6, 4, 0.答：當(dāng)k=6,4,0時(shí)，方程x2－5x+k=0有兩個(gè)整數(shù)解例5.求證：當(dāng)k為整數(shù)時(shí)，方程4x2+8kx+(k2+1)=0沒有有理數(shù)根.證明：?。ㄓ梅醋C法）設(shè)方程有有理
8、數(shù)根，那么△是整數(shù)的平方.∵△＝（8k）2－16(k2+1)＝16（3k2－1）.設(shè)3k2－1＝m2(m是整數(shù)).由3k2－m2＝1，可知k和m是一奇一偶，下面按奇偶性討論3k2＝m2＋1能否成立.當(dāng)k為偶數(shù)，m為奇數(shù)時(shí)，左邊k2是4的倍數(shù)，3k2也是4的倍數(shù)；右邊m2除以4余1，m2＋1除以4余2.∴等式不能成立.； 當(dāng)k為奇數(shù)，m為偶數(shù)時(shí)，左邊k2除以
