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《蒙特卡羅隨機模擬投點法》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、蒙特卡羅隨機模擬投點法在數(shù)字積分中的應(yīng)用數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)0901班：張瑞宸指導(dǎo)老師：任明慧摘要：本文首先介紹了蒙特卡羅方法的產(chǎn)生和發(fā)展，然后分析了蒙特卡羅方法計算數(shù)值積分的理論原理，最后給出了蒙特卡羅方法計算數(shù)值積分的MATLAB編程實現(xiàn)，全文主要是討論了蒙特卡羅方法在定積分計算的應(yīng)用。而蒙特卡羅的優(yōu)點：可以計算被積函數(shù)非常復(fù)雜的定積分、重積分，并且維數(shù)沒有限制，這是別的數(shù)值積分方法還未達到的。蒙特卡羅的缺點：收斂速度慢，誤差一般較大，且是概率的誤差，不是真正的誤差。關(guān)鍵詞：蒙特卡羅方法，均值估計法，數(shù)值積分，Matlab編程Abstract：Thispaperfirstintr
2、oducestheemergenceanddevelopmentoftheMonteCarlomethod,andthenanalyzethetheoreticalprinciplesofMonteCarlonumericalintegrationmethod,Full-textmainlydiscussedtheapplicationoftheMonteCarlomethodinthedefiniteintegral.TheadvantagesofMonteCarlo:canbecalculatedtheintegrablefunctionsverycomplexdefini
3、teintegral,Multipleintegrals,anddimensionnolimit,othernumericalintegrationmethodshavenotyetreached.MonteCarloDisadvantages:slowconvergencespeed,errorgenerallyhigher,andtheprobabilityoferror,notarealerror.Keywords:MonteCarlomethod，Meanestimationmethod，numericalintegral，Matlabprogramming0引言歷史上
4、有記載的蒙特卡羅試驗始于十八世紀(jì)末期（約1777年），當(dāng)時布豐（Buffon）為了計算圓周率，設(shè)計了一個“投針試驗”，后文會給出。雖然方法已經(jīng)存在了200多年，此方法命名為蒙特卡羅則是在二十世紀(jì)四十年，美國原子彈計劃的一個子項目需要使用蒙特卡羅方法模擬中子對某種特殊材料的穿透作用。出于保密緣故，每個項目都要一個代號，傳聞命名代號時，項目負責(zé)人之一vonNeumann靈犀一點選擇摩洛哥著名賭城蒙特卡羅（MonteCarlo）作為該項目名稱，自此這種方法也就被命名為MonteCarlo方法廣為流傳。蒙特卡羅方法，又名隨機模擬法或統(tǒng)計實驗法它是以概率統(tǒng)計理論為基礎(chǔ)，依據(jù)大數(shù)定律（樣本
5、均值替代總體均值）利用電子計算機數(shù)字模擬技術(shù)，解決一些很難直接用數(shù)學(xué)運算求解或用其他方法不能解決的復(fù)雜問題的一種近似計算法。本世紀(jì)40年代電子計算機的出現(xiàn)，特別是近年來高速電子計算機的出現(xiàn)，使得用數(shù)學(xué)方法在計算機上大量、快速地模擬這樣的試驗成為可能。通常蒙特卡羅方法通過構(gòu)造符合一定規(guī)則的隨機數(shù)來解決數(shù)學(xué)上的各種問題。對于那些由于計算過于復(fù)雜而難以得到解析解或者根本沒有解析解的問題，蒙特卡羅方法是一種有效的求出數(shù)值解的方法。一般蒙特卡羅法在數(shù)學(xué)中最常見的應(yīng)用就是蒙特卡羅隨機投點和蒙特卡羅數(shù)值積分。1蒙特卡羅方法的產(chǎn)生與發(fā)展蒙特卡羅方法是在二戰(zhàn)期間產(chǎn)生和發(fā)展起來的他的奠基者是美籍匈
6、牙利人數(shù)學(xué)家馮諾伊曼（J.VonNeumann1903-1957）由于通常計算量相當(dāng)大而電子計算機在當(dāng)時還沒有出現(xiàn)，所有運算只能用手工進行，故而相當(dāng)長的時間里蒙特卡羅方法難以推廣。1.1蒙特卡羅方法的產(chǎn)生作為蒙特卡羅方法的最初應(yīng)用，是解決蒲豐氏問題1777年，法國數(shù)學(xué)家Buffon提出利用投針實驗求解的問題：設(shè)平面上有無數(shù)多條距離為1的等距平行線，現(xiàn)向該平面隨機的投擲一根長度為的針。隨機投針是指針的中心點于最近的平行線間的距離均勻分布在[0,1/2]上，針與平行線的夾角（不管相交與否）均勻分布在上，如圖一所示，故而，故其，概率密度函數(shù)分別為。故我們得到針與線相交的充要條件是圖1
7、.1針與線相交的幾種情況則針與線相交的概率是==所以得到圓周率。假如我們能做大量的投針實驗并記錄下針與線的相交次數(shù)，則可以根據(jù)大數(shù)定律估計出針線相交的概率P。投針實驗N次可能有n次使針與任意平行線相交,那么，顯然，試驗次數(shù)N越多，P的近似程度越好。歷史上曾有幾位學(xué)者做過這樣的投針試驗，并用手工計算出值，結(jié)果參見表1。表1實驗者時間（年）針長投針次數(shù)相交次數(shù)估計值Wolf18500.80500025323.15956Smith18550.60302412183.15665Fox18840.75
