淺析數(shù)學(xué)反例及其構(gòu)造

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1、淺析數(shù)學(xué)反例及其構(gòu)造　　摘　要：　本文對數(shù)學(xué)反例的概念及類型作了簡單介紹，并且從方法論的角度對反例的作用及構(gòu)造方法進行了初步探討，構(gòu)造反例是一種重要的數(shù)學(xué)技能，應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教學(xué)的基本訓(xùn)練內(nèi)容而滲透于教學(xué)過程之中，以期培養(yǎng)學(xué)生合理懷疑的“批判精神”，為創(chuàng)新教育作一些嘗試?！　￡P(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)反例；創(chuàng)見學(xué)習(xí)；反例構(gòu)造　　數(shù)學(xué)中有一種常用的方法，即反例法.“構(gòu)造反例”與“提出證明”在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中有著同等重要的作用?！　∈澜缟献詈唵味肿顑?yōu)秀的反例，莫過于歐拉發(fā)表的世界上最短的一篇數(shù)學(xué)論文了：225+1=232+1=4294967297=641×6

2、700417，它一舉推翻了獨步數(shù)壇百余年的費馬猜想：“n為非負整數(shù)時，一切形如22n+1的數(shù)是素數(shù)。”　　一般地說，一個假命題的反例有多個，我們在舉反例時只選其中一個就可以了。為了更好地理解與掌握反例法，　本文從方法論的角度對反例的類型、作用及構(gòu)造方法進行探討，下面我們就通過一些具體例子，來研究一下反例的類型和構(gòu)造方法?！　?　反例的概念與類型　　1.1反例的概念　　數(shù)學(xué)反例，是指符合某個命題的條件，而又不符合該命題結(jié)論的例子?！　?.2反例的類型5　　反例的產(chǎn)生與數(shù)學(xué)命題的結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，因此，數(shù)學(xué)反例主要有以下幾種類型：　　1.2.1　

3、基本形式的反例　　數(shù)學(xué)命題有以下四種基本形式：全稱肯定判斷（所有S都是P），全稱否定判斷（所有S都不是P），特稱肯定判斷（有S是P），特稱否定判斷（有S不是P），其中，全稱肯定判斷與特稱否定判斷可以互為反例，全稱否定判斷與特稱肯定判斷也可以互為反例?！　±?設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x2+

4、x-a

5、+1，x∈R，討論f（x）的奇偶性?！　〗馕觥‘?dāng)a=0時，函數(shù)f（-x）=（-x）2+

6、-x

7、+1=f（x）　　對任意x∈R都成立，所以此時f（x）為偶函數(shù)；　　當(dāng)a≠0時，f（a）=a2+1，f（-a）=a2+2

8、a

9、+1，f（-a）≠f（a

10、），f（-a）≠-f（a），　　由一個反例可得，此時f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).　　1.2.2　充分條件與必要條件假言判斷的反例　　充分條件的假言判斷是斷定某事物情況是另一事物情況充分條件的假言判斷，可表述為p→q，即“有前者，必有后者”，但是“沒有前者，不一定沒有后者。”可舉反例“沒有前者，卻有后者”說明之.這種反例稱為關(guān)于充分條件假言判斷的反例?！　±?　函數(shù)y=f（x）在x=x0處可導(dǎo)，則f（x）在x=x0處連續(xù)　　這里可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件，但并非必要條件　　反例y=　在x=0處不可導(dǎo)，但在x=0處卻是連續(xù)的。5　　斷定某情

11、況是另一情況的必要條件的假言判斷稱為必要條件假言判斷，可表述為p←q，即“：沒有前者，就沒有后者”，但是“，有了前者，不一定有后者”?？梢耘e反例“有了前者，沒有后者”說明之.這種反例稱為關(guān)于必要條件假言判斷的反例?！　?.2.3　條件變化型反例　　當(dāng)數(shù)學(xué)命題的條件改變時，原結(jié)論不一定成立，說明這種情況所舉的反例可稱為條件變化型反例。考查條件變化情況下結(jié)論的變化，對數(shù)學(xué)研究與教學(xué)是有益的。兩個等差數(shù)列的和仍是等差數(shù)列，那么　兩個等比數(shù)列的和仍是等比數(shù)列么？　　例3　設(shè){an}、{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列，　cn=　an+　bn，證明

12、數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列.　　證明　設(shè){an}、{bn}的公比分別為p、q，　cn=　an+　bn　　為證{cn}不是等比數(shù)列只需證c22≠c1c3　　事實上，　c22=（a1p+b1q）2=　a21p2+b21q2+2a1p　b1q　　c1c3=（a1+b1）（a1p2+b1q2）=　a21p2+b21q2+　a1b1（p2+q2）　　由于p≠q，　p2+q2＞2pq，又a1，　b1不為零　　因此，c22≠c1c3，所以{cn}不是等比數(shù)列?！　±?　閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)定理：若函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，則f（x）在[a，b]上至

13、少取得最大值和最小值各一次?！　∪绻麠l件[a，b]減弱為開區(qū)間（a，b），則定理不成立。　　反例　f（x）=x3在（-1，1）上連續(xù)，但無最值。5　　如果條件連續(xù)改為f（x）在[a，b]上某些點間斷，則結(jié)論不成立，反例　f（x）=　在[-1，1]上無最值?！　?.反例的作用　　2.1發(fā)現(xiàn)原有理論的局限性，推動數(shù)學(xué)向前發(fā)展　　舉反例可直接促進數(shù)學(xué)新概念，新定理，與新理論的形成和發(fā)展。在數(shù)學(xué)發(fā)展轉(zhuǎn)折時期，典型的反例起著舉足輕重的作用正如蓋爾鮑姆與奧姆斯特德指出的“數(shù)學(xué)由兩個大類――證明和反例組成，而數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)也是朝著兩個主要的目標(biāo)―提出證明和構(gòu)

14、造反例”?！　±绻?00年左右　，畢達哥拉斯學(xué)派的希帕索斯發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形的直角邊與斜邊不可通約，這個發(fā)現(xiàn)實質(zhì)是該學(xué)派認為的“一切量都能用有理數(shù)表示”的反例，它使人們對數(shù)的認識大大提高