構(gòu)造函數(shù)法在高考解導(dǎo)數(shù)和數(shù)列問題中的廣泛應(yīng)用

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1、構(gòu)造函數(shù)法在高考解導(dǎo)數(shù)和數(shù)列問題中的廣泛應(yīng)用函數(shù)與方程數(shù)學(xué)思想方法是新課標(biāo)要求的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，構(gòu)造函數(shù)法便是其中的一種，下面就源于兩個(gè)重要極限的不等式利用近三年高考題舉例加以說明。1．設(shè)函數(shù)在R上的導(dǎo)函數(shù)為，且，下面的不等式在R上恒成立的是A．　　　B．C．　D．【答案】A【解析】由已知，首先令得，排除B，D．令，則，①　當(dāng)時(shí)，有，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，從而．②　當(dāng)時(shí)，有，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，從而．綜上．故選A．【考點(diǎn)定位】本試題考察了導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用．通過分析解析式的特點(diǎn)，考查了分析問題和解決問題

2、的能力．2．已知函數(shù)，．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：若，則對任意，，有．解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?分（i）若即，則，故在單調(diào)增加．（ii）若，而，故，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)及時(shí)，．故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加．（iii）若，即，同理可得在單調(diào)減少，在單調(diào)增加．（II）考慮函數(shù)．則．22第22頁共22頁由于故，即在單調(diào)增加，從而當(dāng)時(shí)有，即，故，當(dāng)時(shí)，有．………………………………12分3．已知曲線．從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：．【解析】曲線是圓心為，半徑為的圓，切線（Ⅰ）依題意有，解得，又，聯(lián)

3、立可解得，（Ⅱ），先證：，證法一：利用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)時(shí)，，命題成立，假設(shè)時(shí)，命題成立，即，則當(dāng)時(shí)，∵，故．∴當(dāng)時(shí)，命題成立故成立．22第22頁共22頁證法二：，，下證：．不妨設(shè)，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，從而，即．綜上，成立．4．【09全國Ⅱ·理】22．（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且．（I）求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；（II）證明：．【解】（I）由題設(shè)知，函數(shù)的定義域是且有兩個(gè)不同的根，故的判別式，即且…………………………………①又故．因此的取值范圍是．當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：22第22頁共22頁因此在區(qū)間和是

4、增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)．（II）由題設(shè)和①知于是　　　?。O(shè)函數(shù)　則　當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在區(qū)間是增函數(shù)．于是，當(dāng)時(shí)，因此．www．ks5u．com5．【2008年山東理】　21．（本題滿分12分）已知函數(shù)其中為常數(shù)．（I）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（II）當(dāng)時(shí)，證明：對任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有【標(biāo)準(zhǔn)答案】（Ⅰ）解：由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以．（1）當(dāng)時(shí)，由得，，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，所以無極值．綜上所述，時(shí)，當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，極小值為．當(dāng)時(shí)，無極值．22第22頁共22頁（Ⅱ）證法一：因?yàn)椋?/p>

5、．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，令，則（）．所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，因此恒成立，所以成立．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，要證，由于，所以只需證，令，則（），所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，恒有，即命題成立．綜上所述，結(jié)論成立．證法二：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，對任意的正整數(shù)，恒有，故只需證明．令，，則，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，，即成立．故當(dāng)時(shí)，有．22第22頁共22頁即．【試題分析】第一問對討論時(shí)要注意一些顯而易見的結(jié)果，當(dāng)時(shí)恒成立，無極值．第二問需要對構(gòu)造的新函數(shù)進(jìn)行“常規(guī)處理”，即先證單調(diào)性，然后求最值，最后作出判斷．【高考考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、構(gòu)造函數(shù)證明不等式【易錯(cuò)

6、提醒】沒有注意該函數(shù)定義域?qū)栴}的影響，分類討論無目標(biāo)，判斷的正負(fù)漏掉符號．【學(xué)科網(wǎng)備考提示】函數(shù)類問題的解題方法要內(nèi)悟、歸納、整理，使之成為一個(gè)系統(tǒng)，在具體運(yùn)用時(shí)自如流暢，既要具有一定的思維定向，也要謹(jǐn)防盲目套用．此類問題對轉(zhuǎn)化能力要求很高，不能有效轉(zhuǎn)化是解題難以突破的主要原因，要善于構(gòu)造函數(shù)證明不等式，從而體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的工具性．6．【2007年山東理】（22）（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，其中．（I）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（II）求函數(shù)的極值點(diǎn)；（III）證明對任意的正整數(shù)，不等式都成立．【解】（Ⅰ）由題意知，的定義域?yàn)?，設(shè)，

7、其圖象的對稱軸為，　當(dāng)時(shí)，，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增　（Ⅱ）①由（Ⅰ）得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)?、跁r(shí)，有兩個(gè)相同的解，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn)　③當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同解，，，22第22頁共22頁時(shí)，，，即，　時(shí)，，隨的變化情況如下表：極小值由此表可知：時(shí)，有惟一極小值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，，隨的變化情況如下表：極大值極小值由此表可知：時(shí)，有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值點(diǎn)；綜上所述：時(shí)，有惟一最小值點(diǎn)；時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；時(shí)，無極值點(diǎn)　（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，令函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又　時(shí)，恒

8、有，即恒成立　22第22頁共22頁故當(dāng)時(shí)，有．對任意正整數(shù)取，則有所以結(jié)論成立．7．【2008年湖南理】21．（本小題滿分13分）已知函數(shù)．（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若不等式對任意的都成立（其中是自然對