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《二階導(dǎo)數(shù)在解高考函數(shù)題中的應(yīng)用.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、淺談二階導(dǎo)數(shù)在解高考函數(shù)題中的應(yīng)用河南省鄲城縣第三高中胡友全（郵編：）在歷年高考試題中，導(dǎo)數(shù)部分是高考重點考查的內(nèi)容，在六道解答題中必有一題是導(dǎo)數(shù)題。這類題主要考察函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值與最值以及利用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識解決恒成立、不等式證明等問題。解決這類題的常規(guī)解題步驟為：①求函數(shù)的定義域；②求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；③求的零點；④列出的變化關(guān)系表；⑤根據(jù)列表解答問題。而在有些函數(shù)問題中，如含有指數(shù)式、對數(shù)式的函數(shù)問題，求導(dǎo)之后往往不易或不能直接判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號，從而不能進一步判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值情況，此時解題受阻。若遇這類問題，則可試用求函數(shù)的
2、二階導(dǎo)數(shù)加以解決。本文試以2010年全國高考試題為例，說明函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在解高考函數(shù)題中的應(yīng)用。例1.（全國卷Ⅰ第20題）已知函數(shù).（1）若，求的取值范圍；（2）證明：.原解答如下:解（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞），，，.令從而當(dāng)時，，故所求的范圍是[-1,+∞﹚.證明(2)由(1)知,,則①時，；②.綜上可知，不等式成立.對于（2）的證明，雖然過程簡單，但思維難度大，對學(xué)生的觀察能力和代數(shù)式的變形能力要求較高。我們可以運用二階導(dǎo)數(shù)的方法加以證明：證法二:令.因，顯然當(dāng)時，，當(dāng)時，，在（0,1﹚遞減；當(dāng)時，，的符號仍不能判定，求二階導(dǎo)數(shù)得，從而
3、在時遞增，，在[1,+∞﹚遞增，所以當(dāng)時，，故成立，原不等式成立.例題2（2010年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ（22）小題）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）證明：當(dāng)時，；（Ⅱ）設(shè)當(dāng)時，，求的取值范圍．（原解答略）在原解答第（Ⅱ）問的解答中，用到了放縮代換，對考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和解題能力要求很高，極少有考生能達到那樣的要求.若用求二階導(dǎo)數(shù)求解，則別有一番天地.（Ⅱ）解法二：由題設(shè)，若，則當(dāng)；若.令，，,∵,∴，∴即原不等式成立.當(dāng)從而當(dāng)此時，∴.綜上可知，.由以上兩個例子可以看出，當(dāng)需要判定函數(shù)的單調(diào)性而求導(dǎo)之后不能直接判定導(dǎo)數(shù)的符號時（導(dǎo)函數(shù)中常含有指數(shù)或?qū)?shù)形式），?？梢钥紤]
4、用二階導(dǎo)數(shù)法。建議高三教師在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時，對學(xué)生適當(dāng)加以針對此類題型的指導(dǎo)、訓(xùn)練。針對訓(xùn)練：1、（2010年新課標(biāo)全國卷第（21）題）：設(shè)函數(shù)。（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)時，求的取值范圍2、（2008年湖南高考題改編）：已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。參考答案：1、解：（1）略.（2）.①當(dāng)從而∴，②∴∴∴,不合題意.綜上可知2、解：的定義域是.（1）.設(shè)則..當(dāng)當(dāng)時，所以函數(shù)上是減函數(shù).當(dāng)當(dāng).所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.
