波函數(shù)及其在解高考題中的應(yīng)用

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1、波函數(shù)及其在解高考題中的應(yīng)用　　一、什么是波函數(shù)？?　　波函數(shù)的定義：?　　為了定量地描述介質(zhì)中波動(dòng)的情況，必修求得介質(zhì)中各質(zhì)元的位移與該質(zhì)元所處的平衡位置及時(shí)間的定量關(guān)系，這種定量關(guān)系就是波的表達(dá)式，也叫做波函數(shù)（wavefunction）。?　　二、簡(jiǎn)諧波函數(shù)的推導(dǎo)?　　設(shè)有一波前為平面的簡(jiǎn)諧波，在均勻介質(zhì)中沿軸正方向傳播，波速為。由于這是一種平面波，所以在與軸垂直的平面上，各點(diǎn)的振動(dòng)情況是一樣的。所以只要討論軸上各點(diǎn)的振動(dòng)，就可以知道空間中各點(diǎn)的情況。?　　以O(shè)點(diǎn)為波源，設(shè)該處質(zhì)元做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其位移與時(shí)間的關(guān)系為?　　?　

2、　式中A為振幅，為角頻率?？疾觳ň€O上的任一點(diǎn)P，它離O點(diǎn)的距離為，當(dāng)波源O的振動(dòng)傳到P點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)的質(zhì)元將重復(fù)O點(diǎn)的質(zhì)元的振動(dòng)，角頻率也相同，但振動(dòng)的相位要落后于O點(diǎn)。因?yàn)镺點(diǎn)的振動(dòng)傳到P點(diǎn)需要時(shí)間，所以P處質(zhì)元在時(shí)刻的振動(dòng)相位和O點(diǎn)質(zhì)元在時(shí)刻的振動(dòng)相位一樣，即其相位為：北京家教上海家教找家教上陽光家教網(wǎng)全國(guó)最大家教平臺(tái)?　　因?yàn)槠矫婧?jiǎn)諧波傳播時(shí)各質(zhì)元的振幅相等，P處質(zhì)元在時(shí)刻的位移為：，這就是平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)。因?yàn)?,所以波函數(shù)也可以寫為??　　當(dāng)取某一確定值時(shí)，波函數(shù)便是某質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程，例如，便是振源O的振動(dòng)方程。據(jù)此可

3、以畫出該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖象。?　　當(dāng)取某一確定值時(shí)，波函數(shù)便是某時(shí)刻的波動(dòng)方程，例如，便是時(shí)刻的波動(dòng)函數(shù)方程。據(jù)此可以畫出該時(shí)刻的波的圖象。?　　三、波函數(shù)的應(yīng)用：解高考“波的傳播”題?　　波的傳播問題，歷來是高考的熱點(diǎn)。不論原大綱高考，還是新課標(biāo)高考，波的圖象問題，都占有一席之地。2010年高考的波的圖象問題，又有新動(dòng)向。如2010年高考上海物理卷第20題，是一道關(guān)于波的圖象的難題，難在哪？難在兩點(diǎn)間的距離不是的整數(shù)倍，還難在波的傳播時(shí)間不是的整數(shù)倍，而以往的高考題往往都是的整數(shù)倍。筆者經(jīng)認(rèn)真研究，給出本題的不同于一般的解法：用波

4、函數(shù)解，當(dāng)然，也就給出了此類題的此種解法。因?yàn)?010年高考其它省市的理綜或物理試卷中，關(guān)于機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波的題目，也有此類情況，這，就是高考題的發(fā)展與變化的規(guī)律。?北京家教上海家教找家教上陽光家教網(wǎng)全國(guó)最大家教平臺(tái)　　例1（2010年高考上海卷第20題）如圖1，一列沿軸正方向傳播的簡(jiǎn)諧橫波，振幅為，波速為，在波的傳播方向上兩質(zhì)點(diǎn)的平衡位置相距（小于一個(gè)波長(zhǎng)），當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在波峰位置時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在軸下方與軸相距的位置，則?圖1?　　A．此波的周期可能為?　　B．此波的周期可能為?　　C．從此時(shí)刻起經(jīng)過，點(diǎn)可能在波谷位置??????????

5、?????????　　D．從此時(shí)刻起經(jīng)過，點(diǎn)可能在波峰位置?　　解法1．圖象法：形象思維解題法?　　對(duì)AB選項(xiàng)，根據(jù)題意，有兩種情況：北京家教上海家教找家教上陽光家教網(wǎng)全國(guó)最大家教平臺(tái)?　　第1種情況：?　　波的圖象如圖2，從圖象得，，，根據(jù)，，所以波長(zhǎng)，周期，A正確。?圖2?　　第2種情況：?　　波的圖象如圖3，從圖象得，，，?，根據(jù)，，所以，波長(zhǎng)，周期。?北京家教上海家教找家教上陽光家教網(wǎng)全國(guó)最大家教平臺(tái)圖3?　　因?yàn)橹挥幸陨蟽煞N情況，所以B錯(cuò)誤。?　　對(duì)CD選項(xiàng)，根據(jù)以上兩種情況，也有兩種有兩種對(duì)應(yīng)的情況：?　　第1種情況

6、，波長(zhǎng)是的波，在波的圖象如圖4，從圖象知，b在波谷，所以C正確。?圖4?北京家教上海家教找家教上陽光家教網(wǎng)全國(guó)最大家教平臺(tái)　　第2種情況，波長(zhǎng)是的波，波的圖象如圖5，從圖象知，的在波峰，所以D正確。?圖5?　　綜上各圖，所以本題選ACD。?　　解法2．波函數(shù)解法：抽象思維解題法?　　波函數(shù)，?　　在求出波長(zhǎng)和周期后，?北京家教上海家教找家教上陽光家教網(wǎng)全國(guó)最大家教平臺(tái)　　第1種情況，振幅，周期，波長(zhǎng)，所以具體波函數(shù)是，將和代入波函數(shù)得：，是波谷；所以C正確。?　　第2種情況，振幅，周期，波長(zhǎng)，所以具體波函數(shù)是，將和代入波函數(shù)得：

7、，是波峰；所以D正確。?　　所以本題選ACD。a?　　例2（2008年高考上海卷第22題）．?　　22．（12分）有兩列簡(jiǎn)諧橫波a、b在同一媒質(zhì)中沿x軸正方向傳播，波速均為v＝2．5m/s。在t＝0時(shí)，兩列波的波峰正好在x＝2．5m處重合，如圖所示。?　　（1）求兩列波的周期Ta和Tb。?　?。?）求t＝0時(shí)，兩列波的波峰重合處的所有位置。?北京家教上海家教找家教上陽光家教網(wǎng)全國(guó)最大家教平臺(tái)　?。?）辨析題：分析并判斷在t＝0時(shí)是否存在兩列波的波谷重合處。?　　某同學(xué)分析如下：既然兩列波的波峰存在重合處，那么波谷與波谷重合處也一

8、定存在。只要找到這兩列波半波長(zhǎng)的最小公倍數(shù)，……，即可得到波谷與波谷重合處的所有位置。?　　你認(rèn)為該同學(xué)的分析正確嗎？若正確，求出這些點(diǎn)的位置。若不正確，指出錯(cuò)誤處并通過計(jì)算說明理由。??　　分析：本題考查機(jī)械波的圖象和用數(shù)學(xué)方法解決物理問題。?　　（1）從圖象