導(dǎo)數(shù)在高考解題中的應(yīng)用.pdf

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1、熱點(diǎn)聚焦2013-10導(dǎo)數(shù)在高考解題中的應(yīng)用文/楊貴誠(chéng)摘要：導(dǎo)數(shù)是高考數(shù)學(xué)必考的內(nèi)容，近年來(lái)高考加大了對(duì)以導(dǎo)數(shù)為載體的知識(shí)問(wèn)題的考查，題型在難度、深度和廣度上不斷地加大、加深，從而使得導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)愈發(fā)顯得重要。從導(dǎo)數(shù)在函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何等四個(gè)方面來(lái)探討導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；函數(shù)；不等式；數(shù)列；解析幾何導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要交匯點(diǎn)，是聯(lián)系多個(gè)章節(jié)內(nèi)二、導(dǎo)數(shù)在不等式證明方面的應(yīng)用容以及解決相關(guān)問(wèn)題的重要工具。導(dǎo)數(shù)為解決函數(shù)的最值、函數(shù)極導(dǎo)數(shù)在不等式證明方面的應(yīng)用關(guān)鍵在于從不等式的結(jié)構(gòu)特征值、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)圖像等問(wèn)題提供更有效的途徑、更易行的方法中，聯(lián)想出與不等式對(duì)應(yīng)

2、的函數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)，最后將不等式的和更簡(jiǎn)便的手段。證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題。再接著求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)而得到滿一、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用足不等式的自變量的取值范圍或利用函數(shù)的單調(diào)性得到所證明1.導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)的單調(diào)性、最值中的應(yīng)用的不等式。利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)的最值的一般步驟是：（1）先根據(jù)求導(dǎo)公式（2011年·陜西高考·T21）設(shè)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f（′x）。（1）求對(duì)函數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）解出令函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0的自變量；g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）討論g（x）與g（1）的大小關(guān)系；x（3）從導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（4）通過(guò)定義域從單調(diào)區(qū)間1（3）求a的取

3、值范圍，使得g（a）-g（x）＜對(duì)任意x＞0成立。中求出函數(shù)最值。a2．導(dǎo)數(shù)在函數(shù)極值中的應(yīng)用x-1解：（1）由題設(shè)知g（′x）=，易知（0，1）是g（x）的單調(diào)減區(qū)x2利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來(lái)求函數(shù)極值是高中數(shù)學(xué)問(wèn)題比較常見(jiàn)的類間，（1，+∞）是g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間。因此，x=1是g（x）的唯一極型。利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟是：（1）首先根據(jù)求導(dǎo)法則求小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)。所以g（x）的最小值為g（1）=1。（2）由題出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）令函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0，從而解出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)；11x+1（3）從導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)分區(qū)間討論，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（4）根意得g（x）=-lnx+x

4、，設(shè)h（x）=g（x）-g（x）=lnx-x，則h（′x）=據(jù)極值點(diǎn)的定義來(lái)判斷函數(shù)的極值點(diǎn)，最后再求出函數(shù)的極值。（x-1）2-，當(dāng)x∈（0，1）∪（1，+∞）時(shí)，h（′x）＜0。因此，h（x）在（0，+∞）x23.導(dǎo)數(shù)在求參數(shù)的取值范圍時(shí)的應(yīng)用1利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中的某些參數(shù)的取值范圍，成為近年來(lái)高考內(nèi)單調(diào)遞減，所以①當(dāng)x=1時(shí)，g（x）=g（）。②當(dāng)0＜x＜1時(shí)，x的熱點(diǎn)。在一般函數(shù)含參數(shù)的題中，通過(guò)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)化簡(jiǎn)函數(shù)，可11g（x）＜g（）。③當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞g（）。（3）由（1）知g（x）的最小值為以更快速地求出參數(shù)的取值范圍。xx（2011年·江蘇高考·Ｔ19）已知a

5、，b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x3+ax，111，所以g（a）-g（x）＜，對(duì)任意x＞0成立圳g（a）-1＜得0＜a＜e。aa（gx）=x2+bx，f（′x）和g（′x）分別是f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f（′x）g（′x）≥三、導(dǎo)數(shù)在數(shù)列、解析幾何方面的應(yīng)用0在區(qū)間I上恒成立，則稱f（x）和g（x）在區(qū)間I上單調(diào)性一致。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，也是個(gè)難點(diǎn)。利用導(dǎo)數(shù)（1）設(shè)a＞0，若f（x）和g（x）在區(qū)間［-1，+∞）上單調(diào)性一致，求實(shí)數(shù)解決數(shù)列問(wèn)題的關(guān)鍵在于結(jié)合數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)求導(dǎo)公式聯(lián)b的取值范圍；（2）設(shè)a＜0且a≠b，若函數(shù)f（x）和g（x）在以a，b為想與之

6、相對(duì)應(yīng)的函數(shù)再構(gòu)造函數(shù)，然后再通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)解決相關(guān)的數(shù)端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間上單調(diào)性一致，求a-b的最大值。列問(wèn)題。而導(dǎo)數(shù)在解析幾何方面的應(yīng)用所利用的知識(shí)點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的幾【思路】本題考查的是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合知識(shí)，在解決本題時(shí)何意義，而導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f（′x0），要注意挖掘已知的信息，注意條件的轉(zhuǎn)化，函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)就是曲線y=f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線方程的斜率。下面結(jié)合某間［-1，+∞）上單調(diào)性一致，可以轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)之積恒為正來(lái)處理。些高考題介紹導(dǎo)數(shù)在解決數(shù)列問(wèn)題的基本方法與思路。解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）和g（x）在區(qū)間［-1，+∞）上單

7、調(diào)性一致，（2009年廣東·理）已知曲線C：x2-2nx+y2=0（n=1，2，……）。從n2a所以（3x+a）（2x+b）≥0。因此b≥2。（2）令f（′x）=0，解得x=±-，點(diǎn)P（-1，0）向曲線Cn引斜率為k（nkn＞0）的切線ln，切點(diǎn)為P（nxn，姨3yn）。（1）求數(shù)列{xn}與{yn}的通項(xiàng)公式；（2）證明：x1·x3·x5……x2n-1＜a易知b≤0。當(dāng)x∈（-∞，--）時(shí)，f（x）和g（x）單調(diào)性一致，故姨31-xn＜姨2sinxn。aa11姨1+