二次求導(dǎo)在解高考數(shù)學(xué)函數(shù)壓軸題中應(yīng)用

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1、二次求導(dǎo)在解高考數(shù)學(xué)函數(shù)壓軸題中的應(yīng)用我們都知道用導(dǎo)函數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，如果導(dǎo)函數(shù)大于零，則原函數(shù)為增，導(dǎo)函數(shù)小于零，則原函數(shù)為減。在求出導(dǎo)函數(shù)后，如果再繼續(xù)對導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)，即求出，則可以用去判斷的增減性，如下圖：下面我們結(jié)合高考題來看看二次求導(dǎo)在解高考數(shù)學(xué)函數(shù)壓軸題中的應(yīng)用【理·2010全國卷一第20題】已知函數(shù).（Ⅰ）若，求的取值范圍；（Ⅱ）證明：先看第一問，首先由可知函數(shù)的定義域為，易得則由可知，化簡得，這時要觀察一下這個不等式，顯然每一項都有因子，而又大于零，所以兩邊同乘可得，所以有，在對求導(dǎo)有，即

2、當＜＜時，＞0，在區(qū)間上為增函數(shù)；當時，；當＜時，＜0，在區(qū)間上為減函數(shù)。所以在時有最大值，即。又因為，所以。應(yīng)該說第一問難度不算大，大多數(shù)同學(xué)一般都能做出來。再看第二問。要證，只須證當＜時，；當＜時，＞即可。由上知，但用去分析的單調(diào)性受阻。我們可以嘗試再對求導(dǎo)，可得，顯然當＜時，；當＜時，＞，即在區(qū)間上為減函數(shù)，所以有當＜時，，我們通過二次求導(dǎo)分析的單調(diào)性，得出當＜時，則在區(qū)間上為增函數(shù)，即，此時，則有成立。下面我們在接著分析當＜時的情況，同理，當＜時，＞，即在區(qū)間上為增函數(shù)，則，此時，為增函數(shù)，所以，易得

3、也成立。綜上，得證。下面提供一個其他解法供參考比較。解：（Ⅰ），則題設(shè)等價于。令，則。當＜＜時，＞；當時，，是的最大值點，所以。綜上，的取值范圍是。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，即。當＜＜時，因為＜0，所以此時。當時，。所以比較上述兩種解法，可以發(fā)現(xiàn)用二次求導(dǎo)的方法解題過程簡便易懂，思路來得自然流暢，難度降低，否則，另外一種解法在解第二問時用到第一問的結(jié)論，而且運用了一些代數(shù)變形的技巧，解法顯得偏而怪，同學(xué)們不易想出。不妨告訴同學(xué)們一個秘密：熟煉掌握二次求導(dǎo)分析是解決高考數(shù)學(xué)函數(shù)壓軸題的一個秘密武器！下面我們再看一道高

4、考壓軸題?！纠怼?010全國卷三第21題】設(shè)函數(shù)。（Ⅰ）若，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若當時，。求的取值范圍。第一問沒有任何難度，通過求導(dǎo)數(shù)來分析的單調(diào)即可。當，，令，得；當＜時，＜；當＞時，＞。所以在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)。第二問，其實第一問算是個提示，即當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，故，顯然滿足題意。下面我們分別分析＜和＞兩種情況。當＜時，在區(qū)間上顯然，綜上可得在區(qū)間上成立。故＜滿足題意。當＞時，，，顯然，，當在區(qū)間上大于零時，為增函數(shù)，，滿足題意。而當在區(qū)間上為增函數(shù)時，，也就是說，要求在區(qū)間上大于等于零

5、，又因為在區(qū)間上為增函數(shù)，所以要求，即，解得。綜上所述，的取值范圍為。通過上面兩道壓軸題，我們已經(jīng)領(lǐng)略了二次求導(dǎo)在分析高考數(shù)學(xué)函數(shù)壓軸題的威力。再看看某些省市的函數(shù)題?！纠怼?010安徽卷第17題】設(shè)為實數(shù)，函數(shù)。（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）求證：當＞且＞時，＞。第一問很常規(guī)，我們直接看第二問。首先要構(gòu)造一個新函數(shù)，如果這一著就想不到，那沒轍了。然后求導(dǎo)，結(jié)果見下表。，繼續(xù)對求導(dǎo)得減極小值增由上表可知，而，由＞知＞，所以＞，即在區(qū)間上為增函數(shù)。于是有＞，而，故＞，即當＞且＞時，＞。