直線與平面所成的角

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1、直線與平面垂直的定義：圖形表示：αPl如果一條直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱這條直線與這個平面垂直.記作垂足平面α的垂線直線l的垂面符號表示：文字表示：畫法：直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直。復(fù)習(xí)回顧直線與平面垂直的判定定理：一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線垂直于這個平面.關(guān)鍵：線不在多，相交則行符號語言圖形語言文字語言Pmnlα3：如圖，已知PA⊥平面ABC，AB⊥BC.AE⊥PB.求證：PC⊥AEPABCE1.如圖，直四棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形滿足什么

2、條件時？底面四邊形對角線相互垂直．探究知識探究（一）：平面的斜線斜線、當(dāng)直線與平面相交時，它們可能垂直，也可能不垂直，如果一條直線和一個平面相交但不垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足.那么過一點作一個平面的斜線有多少條？αlP斜線斜足射影、過斜線上斜足外一點向平面引垂線，連結(jié)垂足和斜足的直線叫做這條斜線在這個平面上的射影.那么斜線l在平面α內(nèi)的射影有幾條？αlPAB思考1、兩條平行直線、相交直線、異面直線在同一個平面內(nèi)的射影可能是哪些圖形？思考2、如圖，過平面α外一點P引平面α的兩條斜線段PA、PB

3、，斜足為A、B，再過點P引平面α的垂線，垂足為O，如果PA>PB，那么OA與OB的大小關(guān)系如何？反之成立嗎？αOPAB射影長定理：從平面外一點引的斜線段、垂線段中：相等的斜線段對應(yīng)的射影長相等、長的斜線段對應(yīng)的射影較長。思考、如圖，過平面α內(nèi)一點P引平面α的兩條斜線PA、PB，這兩條斜線段在平面α內(nèi)的射影分別為PC、PD，如果PA>PB，那么PC與PD的大小關(guān)系確定嗎？αCPABD如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面A1B1CD中的射影（2）AB1在面CDD1C1中的射影（3）AB1在面BB1D1

4、D中的射影A1D1C1B1ADCBO線段B1O鞏固練習(xí)三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直P?AOaP?AOa三垂線定理的逆定理在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直知識探究（二）：直線和平面所成的角思考1:平面的一條斜線與這個平面總存在一個相對傾斜度，我們設(shè)想用一個平面角來反映這個傾斜度，并且這個角的大小由斜線與平面的相對位置關(guān)系所確定，那么角的頂點宜選在何處？αl思考2:如圖，AB為平面α的一條斜線，A為斜足，AC為

5、平面α內(nèi)的任意一條直線，能否用∠BAC反映斜線AB與平面α的相對傾斜度？為什么？αCAB思考3:如圖，∠BAD為斜線AB與平面α所成的角，AC為平面α內(nèi)的一條直線，那么∠BAD與∠BAC的大小關(guān)系如何？DαCAB∠BAC>∠BAD思考4:反映斜線與平面相對傾斜度的平面角的頂點為斜足，角的一邊在斜線上，另一邊在平面內(nèi)的哪個位置最合適？為什么？αPAB定義:我們把平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個平面所成的角.αPAB特別地，當(dāng)一條直線與平面垂直時，規(guī)定它們所成的角為90°；當(dāng)一條直線和平面平行或在

6、平面內(nèi)時，規(guī)定它們所成的角為0°.強調(diào):任何一條直線和一個平面的相對傾斜度都可以用一個角來反映，那么直線與平面所成的角的取值范圍是什么？思考1、比較異面直線所成的角、直線與平面所成的角1.在立體幾何中,"異面直線所成的角"是怎樣定義的？直線a、b是異面直線,經(jīng)過空間任意一點O,分別引直線a'//a,b'//b,我們把相交直線a'和b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線所成的角。2.在立體幾何中,"直線和平面所成的角"是怎樣定義的？平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角。兩直線所成角的取值范

7、圍：[0o,90o]．AB??1O平面的斜線和平面所成的角的取值范圍：(0o,90o)．直線和平面所成角的取值范圍：[0o,90o]．比較思考2、兩條平行直線與同一個平面所成的角的大小關(guān)系如何？反之成立嗎？一條直線與兩個平行平面所成的角的大小關(guān)系如何？αO例題講解：練習(xí)：已知PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形，PA=AB。1)求PC和平面ABCD所成的角2）求PC和平面PAD所成的角3)求PC和平面PAB所成的角PABCD拓展：如圖，AB為平面α的一條斜線，B為斜足，AO⊥平面α，垂足為O，直線BC在平面α內(nèi)，已知

8、∠ABC=60°，∠OBC=45°，求斜線AB和平面α所成的角.ABCOαD