11動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析

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1、第十一章動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析§11-1拉普拉斯變換及其基本性質(zhì)§11-2拉普拉斯反變換§11-3動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域模型§11-4動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析§11-5網(wǎng)絡(luò)函數(shù)§11-1拉普拉斯變換及其基本性質(zhì)拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)變化，可將高階微分方程變換為代數(shù)方程以便求解。例1:對(duì)數(shù)變換乘法運(yùn)算簡(jiǎn)化為加法運(yùn)算例2:相量法正弦運(yùn)算簡(jiǎn)化為復(fù)數(shù)運(yùn)算一、拉氏變換(Laplacetransformation)的定義1.拉氏變換的定義：s為復(fù)頻率f(t)與F(s)一一對(duì)應(yīng)拉氏變換:將時(shí)域函數(shù)f(t)（原函數(shù)：originalfunction）變換為復(fù)頻域函數(shù)F(s)（象函數(shù)：transformfun

2、ction）。t<0，f(t)=0f(t)=?(t)時(shí)此項(xiàng)?0正變換反變換F(s)稱(chēng)為象函數(shù)，用大寫(xiě)字母表示，如I(s)，U(s)。f(t)稱(chēng)為原函數(shù)，用小寫(xiě)字母表示，如i(t)，u(t)。2.存在條件對(duì)于一個(gè)函數(shù)f(t)，如果存在正的有限值常數(shù)M和c，使下式成立則f(t)的拉氏變換式F(s)總存在。因?yàn)閇][]?íì==-)s(FL)t(f)t(fL)s(F1簡(jiǎn)寫(xiě)正變換反變換傅氏積分公式存在的條件是?(t)需滿足狄里赫列條件，且是收斂的。這后一個(gè)條件的限制性較強(qiáng)，致使工程上常用的一些函數(shù)不能進(jìn)行傅立葉變換，其原因大體是由于t→∞時(shí)過(guò)程中?(t)的減幅太慢。為了擴(kuò)大傅氏變換的使

3、用范圍，選正實(shí)數(shù)σ，用收斂因子e–σt乘?(t)。只要?(t)隨時(shí)間的增長(zhǎng)不比指數(shù)函數(shù)快，則可使收斂。當(dāng)t﹤0時(shí)，e–σt將起發(fā)散作用。故?(t)僅限于t≥0的情況。這在電路理論中是可行的，因?yàn)閾Q路常發(fā)生在t＝0時(shí)刻，換路前的歷史可用t＝0時(shí)的初始條件概括地表示。于是對(duì)e–σt?(t)進(jìn)行傅氏變換，并引入復(fù)變量s＝σ＋jω，便可得到拉氏變換公式。拉氏變換式的積分下限記為0-，如果?(t)包含t＝0時(shí)刻的沖激，則拉氏變換也應(yīng)包括這個(gè)沖激。復(fù)變量s＝σ＋jω的實(shí)部σ應(yīng)足夠大，使e–σt?(t)絕對(duì)可積，?(t)的拉氏變換才存在。有些函數(shù)tt，et2等，不論σ多大都不存在拉氏變換，這

4、些函數(shù)在電路理論中用處不大。原函數(shù)?(t)是以時(shí)間t為自變量的實(shí)變函數(shù)，象函數(shù)F(s)是以復(fù)變量s為自變量的復(fù)變函數(shù)。?(t)與F(s)之間有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。原函數(shù)?(t)的拉氏變換，實(shí)際上就是?(t)ε(t)e–σt的傅氏變換。在t﹤0時(shí)，?(t)＝0的條件下，拉氏變換可看作傅氏變換把jω?fù)Q成s的推廣，而傅氏變換（如果存在）則可看作拉氏變換s＝j(luò)ω的特例。因?yàn)?(t)拉氏變換就是將e–σt?(t)進(jìn)行傅氏變換，即把信號(hào)?(t)展開(kāi)為復(fù)頻域函數(shù)F(s)。復(fù)變量s＝σ＋jω常稱(chēng)為復(fù)頻率，稱(chēng)分析線性電路的運(yùn)算法為復(fù)頻域分析，而相應(yīng)地稱(chēng)經(jīng)典法為時(shí)域分析。3.典型函數(shù)的拉氏變換(2)

5、單位階躍函數(shù)(1)指數(shù)函數(shù)(3)沖激函數(shù)=1二、拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1.線性性質(zhì)(linearity)2-1時(shí)域微分(timedifferentiation)性質(zhì)若則推廣：2-2頻域微分性質(zhì)則若3.時(shí)域積分(timeintegration)性質(zhì)若則4-1時(shí)域平移(timeshift)性質(zhì)f(t)?(t)ttf(t-t0)?(t-t0)t0f(t)?(t-t0)tt0若則例12：1Ttf(t)T1f(t)?Tt例13：例14：周期函數(shù)的拉氏變換...tf(t)1T/2T設(shè)f1(t)為第一周函數(shù)4-2頻域平移(frequencyshift)性質(zhì)若則5.初值定理和終值定理初值定理：

6、若f(t)在t=0處無(wú)沖激，則終值定理：若存在，則證：利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)積分微分小結(jié)：§11-2拉普拉斯反變換由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)利用公式：(2)對(duì)F(s)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理象函數(shù)的一般形式：利用部分分式可將F(s)分解為：令s=p1，則同理可得……因此求極限法因此法一法二一般形式：k1、k2也是一對(duì)共軛復(fù)根。例19：求的原函數(shù)f(t)。法一極點(diǎn)為法二：配方法同理可得若為q重根，則小結(jié)：1)n=m時(shí)將F(s)化成真分式；1.由F(s)求f(t)的步驟解：2)求真分式分母的根，確定分解單元；3)求各部分分式的系數(shù)；4)對(duì)每個(gè)部分分式和多項(xiàng)式逐項(xiàng)求拉氏反變換。2.拉氏變換法分析電路正

7、變換反變換相量形式KCL、KVL元件?復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納相量形式電路模型§11-3動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域模型類(lèi)似地元件?運(yùn)算阻抗、運(yùn)算導(dǎo)納運(yùn)算形式KCL、KVL運(yùn)算形式電路模型二、電阻元件的運(yùn)算形式R：u(t)=Ri(t)一、運(yùn)算形式的電路定律+u-iR+U(s)-I(s)Ri(t)=Gu(t)L:+U(s)-sLI(s)i+u-L1/sL+-I(s)U(s)三、電感元件的運(yùn)算形式C:+uC-iCIC(s)1/sC+U(s)-1/sCIC(s)+U(s)-四、電容元件的運(yùn)算形式ML1i1i2L2+u1