動態(tài)電路的復(fù)頻域分析

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1、第5章動態(tài)電路的復(fù)頻域分析5.1拉普拉斯變換5.2復(fù)頻域電路模型5.3電路的復(fù)頻域分析小結(jié)學習目標理解并掌握拉普拉斯變換的定義及基本性質(zhì)、常用信號的拉普拉斯變換理解并掌握拉普拉斯反變換的部分分式法。理解并掌握電路元件的電壓電流關(guān)系及電路的復(fù)頻域模型、電路定律的復(fù)頻域形式。掌握線性電路的復(fù)頻域分析方法。5.1.1拉普拉斯變換的定義一個定義在時間函數(shù)的拉普拉斯變換記為，其定義為(5.1)其中稱為復(fù)頻率，積分限0_和是固定的，所以積分的結(jié)果與無關(guān)，而只取決于參數(shù)，即(5.2)5.1拉普拉斯變換F(s)即為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換，F(xiàn)(s)稱為

2、f(t)的象函數(shù)，稱為F(s)的原函數(shù)。在電路中我們用U(s)的I(s)分別表示u(t)和i(t)的拉普拉斯變換。如果F(s)已知，要求出它所對應(yīng)的原函數(shù)f(t)，則由F(s)到f(t)的變換稱為拉普拉斯反變換，它的定義為（5.3）應(yīng)該認識到：u(t)和i(t)是時間的函數(shù)，即時域變量,時域是實際存在的變量。而它們的拉普拉斯變換U(s)和I(s)則是一種抽象的變量。我們之所以把直觀的時域變量變?yōu)槌橄蟮膹?fù)頻率變量，是為了便于分析和計算電路問題，待得出結(jié)果后再反變換為相應(yīng)的時域變量。5.1.2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)一、線性性質(zhì)1若則拉普拉斯變

3、換的一個重要性質(zhì)是它的線性性質(zhì)(直線性)。亦即拉普拉斯變換是時域與復(fù)頻域間的線性變換。它表現(xiàn)為以下兩個定理：2若則5.1.2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)二、微分性質(zhì)1若則拉普拉斯變換的第二個重要性質(zhì)是函數(shù)的拉普拉斯變換與其導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換之間存在著簡單的關(guān)系。重復(fù)運算的微分定理，我們還可以得到下面關(guān)于函數(shù)的拉普拉斯變換及其高階的拉普拉斯變換之間關(guān)系的推論。5.1.2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)三、積分性質(zhì)若則拉普拉斯變換的第三個重要性質(zhì)是函數(shù)的拉普拉斯變換與其積分的拉普拉斯變換之間存在著簡單的關(guān)系。由此可見，在時域中的積分運算相當于復(fù)頻域中的除法運

4、算。5.1.3常用信號的拉普拉斯變換例：正弦余弦信號的拉氏變換例：衰減余弦的拉氏變換5.1.4拉普拉斯反變換的部分分式法可以把任意一個有理函數(shù)分解成許多簡單項之和，而這些簡單項都可以在拉氏變換表中找到，這種方法稱為部分分式展開，或稱為分解定理。這是用拉氏變換法求解線性電路時，進行反變換的主要方法。令用部分分式展開有理分式F(s)時，第一步是把有理分式化為真分式5.1.4拉普拉斯反變換的部分分式法上式中的A是一個常數(shù)，其對應(yīng)的時間函數(shù)為。所以在下面的討論中都假定F(s)為真分式。為用部分分式展開有理分式F(s)，首先必須求出D(s)=0的根

5、。下面就這些根的不同情況分別討論F(s)的展開。1．設(shè)D(s)=0有n個單根的情況。設(shè)n個單根分別為。于是F(s)可以展開為5.1.4拉普拉斯反變換的部分分式法式中等是待定系數(shù)。這些系數(shù)可以按下述方法確定，把上式兩邊都乘以，得令，則等式除第一項外都變?yōu)榱?，這樣就求得各待定系數(shù)的公式為5.1.4拉普拉斯反變換的部分分式法于是F(s)所對應(yīng)的原函數(shù)f(t)進行反拉氏變換便可求得，即例5.1例5.2例5.3作業(yè)P1605.15.25.35.2.1電路元件的S域模型R.L.C元件的時域關(guān)系為：各式進行拉氏變換得：5.2復(fù)頻域電路模型對電流解出得：

6、5.2.2電路的復(fù)頻域模型通過上述分析，已經(jīng)獲得了理想電路元件的復(fù)頻域電路模型。這樣，時域電路變換為復(fù)頻域電路就比較容易了。其步驟如下：1、計算各儲能元件的初始條件，進而獲得其復(fù)頻域電路模型；2、用理想電路元件（不包括電源）的復(fù)頻域電路模型代替該元件；3、用、代替相應(yīng)的及；4、用、代替原電路中相應(yīng)的及。例5.4圖5.1(a)所示的電路開關(guān)閉合前已處于穩(wěn)態(tài)。試畫出復(fù)頻域電路模型。(a)(b)圖5.1例5.4的圖解:先求電感和電容的初始條件和在圖5.1(a)中，開關(guān)動作前電路已處穩(wěn)態(tài)，因而在t=0_時電感相當于短路，電容相當于開路。故由此獲得

7、相應(yīng)的復(fù)頻域電路模型如圖5.1(b)所示。作業(yè)P1605.55.3.1.基爾霍夫定律的復(fù)頻域形式KC.L對于任意的節(jié)點，在同一時刻流入該節(jié)點的電流代數(shù)和恒等于零即K.V.L沿任意閉合回路，各段電壓的代數(shù)和恒等于零，即5.3電路的復(fù)頻域分析用拉氏變換分析電路的步驟如下：A.將已知的電動勢、恒定電流進行拉氏變換。B.根據(jù)原電路圖畫出運算等效電路圖。C.用計算線性系統(tǒng)或電路穩(wěn)定狀態(tài)的任何方法解運算電路，求出待求量的象函數(shù)。D.將求得的象函數(shù)變換為原函數(shù)。5.3.2電路的復(fù)頻域分析方法例5.5用拉氏變換求R、L、C串聯(lián)電路的(a)單位階躍響應(yīng)和(

8、b)零輸入響應(yīng)。設(shè)。解:(a)。此時有令則可得查表5.1可得則可得由查表5.1可得例5.6在圖5.7(a)所示電路中，直流電壓源的電壓，試求零狀態(tài)響應(yīng)。(a)(b)圖5.7例5.6的圖解：作出