兩條相交直線的夾角

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1、課題：兩條相交直線的夾角(教案)【教學(xué)目標(biāo)】：1、理解兩條直線相交時,直線夾角與直線方向向量夾角的關(guān)系；掌握根據(jù)已知條件求出兩條相交直線的夾角；2、理解兩條直線垂直的充要條件.3、體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)思維能力.【教學(xué)重點】：兩條相交直線的夾角.【教學(xué)難點】：夾角公式的應(yīng)用.【教學(xué)過程】：一、課題引入：平面上兩條直線有幾種位置關(guān)系？相交、平行、重合．（垂直是相交的一種特殊情形）下面我們對兩條直線的位置關(guān)系作進(jìn)一步研究．（引出課題：兩條直線的夾角）二、新課講授：1.兩條直線的夾角：平面上兩條相交直線，它們構(gòu)成四個角，是兩對對頂角．如果一對是銳角，另一對是鈍角，那么我們規(guī)定銳角作為它們的

2、夾角．如果四個角都是直角，那么規(guī)定兩直線夾角是直角，此時也稱兩條直線相互垂直．平面上兩條直線相交時構(gòu)成兩組對頂角．我們規(guī)定兩條相交直線所成的銳角或直角為兩條相交直線的夾角．規(guī)定：如果兩條直線平行或重合，它們的夾角為０．所以，兩條相交直線的夾角．2.夾角公式：如果已知兩條直線的方程分別為：（其中不同時為零，不同時為零）．系數(shù)確定，方程確定，直線確定，它們的夾角也就確定，那么如何根據(jù)方程來求與的夾角？設(shè)的方向向量分別為，向量的夾角為，直線的夾角為．將直線的方向向量平移至同一起點，構(gòu)成四種情形，如圖．當(dāng)時，；當(dāng)時，．于是，．根據(jù)直線方程，可設(shè)它們的方向向量分別為：．由夾角的計算公式得：，于是，兩

3、條直線的夾角公式為：．分別是直線一般式方程中前面的系數(shù)，已知這四個數(shù)就可以應(yīng)用夾角公式求兩直線夾角的余弦．因為余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以此時角是唯一確定的．例1、已知兩條直線的方程分別是：，求兩條直線的夾角．解：由題意：，，即兩直線的夾角為．練習(xí)：求下列各組直線的夾角.（1）（2）（3）例2、已知直線與直線，若直線和直線的夾角為，求的值.解：由得.得兩直線的夾角為，稱兩條直線相互垂直，是兩直線相交的一種特殊情形，回顧夾角公式的推導(dǎo)過程你能否找到一個關(guān)于兩直線垂直（板書）的命題？當(dāng)時，，此時，兩直線相互垂直；反之，當(dāng)兩直線垂直時，它們的方向向量也相互垂直，所以．兩條直線垂直的充要條件是：；當(dāng)

4、都存在時，兩條直線垂直的充要條件是：；所以兩條直線垂直的充要條件也可為：或一條斜率不存在另一條的斜率為零．例3、已知直線經(jīng)過點，且與直線的夾角為，求直線的方程．解１：設(shè)直線的一個法向量為，則直線的點法向式方程為：整理得：，由公式得：當(dāng)時，直線方程為：；當(dāng)時，，直線方程為：；所以，直線的方程為：或．注意：此處設(shè)直線的點法向式方程，而不是點方向式方程或點斜式方程是因為只有點法向式方程可以表示所有直線．解2：若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：.則由題意：，解得.直線方程為：.若直線的斜率不存在，即方程為；則直線與直線的夾角為，滿足題意.所以，直線的方程為：或．解3：設(shè)直線的一般式方程為：（不同時

5、為零）．則由題意：，后解同解１．三、小結(jié)：1.兩條直線的夾角．2.設(shè)直線方程時要依題而設(shè)，好中選優(yōu)；利用畫圖、數(shù)形結(jié)合的方法．課題：兩條相交直線的夾角(學(xué)案)【教學(xué)目標(biāo)】：1、理解兩條直線相交時,直線夾角與直線方向向量夾角的關(guān)系；掌握根據(jù)已知條件求出兩條相交直線的夾角；2、理解兩條直線垂直的充要條件.3、體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)思維能力.【教學(xué)重點】：兩條相交直線的夾角.【教學(xué)難點】：夾角公式的應(yīng)用.【教學(xué)過程】：1.兩條直線的夾角：平面上兩條直線相交時構(gòu)成兩組對頂角．我們規(guī)定_____________________________為兩條相交直線的夾角．規(guī)定：如果兩條直線平行或重合，

6、它們的夾角為_____．兩條相交直線的夾角________________.2.夾角公式：如果已知兩條直線的方程分別為：（其中不同時為零，不同時為零）．如何根據(jù)方程來求與的夾角？兩條相交直線的夾角公式為：___________________________________．例1、已知兩條直線的方程分別是：，求兩條直線的夾角．練習(xí)：求下列各組直線的夾角.（1）（2）（3）例2、已知直線與直線，若直線和直線的夾角為，求的值.兩條直線垂直的充要條件是：__________________________；兩條直線垂直的充要條件也可為：______________________________

7、______．例3、已知直線經(jīng)過點，且與直線的夾角為，求直線的方程．【課堂小結(jié)】兩條直線的夾角：【課后作業(yè)】兩條相交直線的夾角課后作業(yè)1．求下列兩組直線的夾角：（1）；（2）；（3）與.2.已知直線，其中且，求直線與的夾角.3．（1）已知直線與直線的夾角為，求實數(shù)的值．或（2）經(jīng)過點（3，5），且與直線之間成角的直線方程.或4．若直線與直線互相垂直，求的值.0或15．已知等腰三角形的斜邊所在直線的方程為，直角頂點為，求兩