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1、五大模型一、等積變換模型⑴等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；其它常見(jiàn)的面積相等的情況⑵兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比。如上圖⑶夾在一組平行線之間的等積變形，如下圖；反之，如果，則可知直線平行于。⑷正方形的面積等于對(duì)角線長(zhǎng)度平方的一半；⑸三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；二、鳥(niǎo)頭定理（共角定理）模型兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形。共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比。如圖，在中，分別是上的點(diǎn)(如圖1)或
2、在的延長(zhǎng)線上，在上(如圖2)，則圖1圖2三、蝴蝶定理模型任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”)：①或者②蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問(wèn)題的一個(gè)途徑．通過(guò)構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系。梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)①②；③梯形的對(duì)應(yīng)份數(shù)為。四、相似模型相似三角形性質(zhì)：金字塔模型沙漏模型①；②。所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的
3、性質(zhì)及定理如下：⑴相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比；⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方。五、燕尾定理模型S△ABGS△AGCS△BGES△EGCBEECS△BGAS△BGCS△AGFS△FGCAFFCS△AGCS△BCGS△ADGS△DGBADDB典型例題精講例1一個(gè)長(zhǎng)方形分成4個(gè)不同的三角形，綠色三角形面積是長(zhǎng)方形面積的0.15倍，黃色三角形的面積是21平方厘米。問(wèn)：長(zhǎng)方形的面積是__________平方厘米。例1圖例2如圖，三角形田地中有兩條小路AE和CF，交叉處為D，張大
4、伯常走這兩條小路，他知道DF＝DC，且AD＝2DE。則兩塊地ACF和CFB的面積比是__________。例2圖【舉一反三】?jī)蓷l線段把三角形分為三個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，如圖所示，三個(gè)三角形的面積分別是3，7，7，則陰影四邊形的面積是多少？舉一反三圖【拓展】如圖，已知長(zhǎng)方形ADEF的面積16，三角形ADB的面積是3，三角形ACF的面積是4，那么三角形ABC的面積是多少？拓展圖例3如圖，將三角形ABC的AB邊延長(zhǎng)1倍到D，BC邊延長(zhǎng)2倍到E，CA邊延長(zhǎng)3倍到F。如果三角形ABC的面積等于1，那么三角形DEF的面積是___
5、_______。例3圖【拓展】如圖，在△ABC中，延長(zhǎng)AB至D，使BD＝AB,延長(zhǎng)BC至E，使，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，若△ABC的面積是2，則△DEF的面積是多少？拓展圖例4如圖，在△ABC中，已知M、N分別在邊AC、BC上，BM與AN相交于O，若△AOM、△ABO和△BON的面積分別是3、2、1，則△MNC的面積是__________。例4圖【秒殺題】四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O（如圖所示）。如果三角形ABD的面積等于三角形BCD的面積的，且AO＝2，DO＝3,那么CO的長(zhǎng)度是DO的長(zhǎng)度的__________
6、倍。秒殺題圖例5如圖，四邊形EFGH的面積是66平方米，EA＝AB，CB＝BF，DC＝CG，HD＝DA，求四邊形ABCD的面積。例5圖例6如右圖長(zhǎng)方形ABCD中，EF＝16，F(xiàn)＝9，求AG的長(zhǎng)。例6圖【鋪墊】圖中四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為12cm的正方形，從G到正方形頂點(diǎn)C、D連成一個(gè)三角形，已知這個(gè)三角形在AB上截得的EF長(zhǎng)度為4cm，那么三角形GDC的面積是多少？鋪墊圖例7如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，E為AD中點(diǎn)，AF與BE、BD分別交于G、H，已知AH＝5cm，HF＝3cm，求AG。例7圖例8如右圖，三角形ABC中，B
7、D∶DC＝4∶9，CE∶EA＝4∶3，求AF∶FB。例8圖【拓展】如圖，三角形ABC的面積是1，BD＝DE＝EC，CF＝FG＝GA，三角形ABC被分成9部分，請(qǐng)寫(xiě)出這9部分的面積各是多少?拓展圖例9如右圖，△ABC中，G是AC的中點(diǎn)，D、E、F是BC邊上的四等分點(diǎn)，AD與BG交于M，AF與BG交于N，已知△ABM的面積比四邊形FCGN的面積大7.2平方厘米，則△ABC的面積是多少平方厘米？例9圖例10如圖，在正方形ABCD中，E、F分別在BC與CD上，且CE＝2BE，CF＝2DF，連接BF，DE，相交于點(diǎn)G，過(guò)G作M
8、N，PQ得到兩個(gè)正方形MGQA和正方形PCNG，設(shè)正方形MGQA的面積為S1，正方形PCNG的面積為S2，則S1：S2＝______。例10圖
