用矩陣的初等變換求逆矩陣

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1、2007年11月16日至18日，有幸參加了由李尚志教授主講的國家精品課程線性代數(shù)（非數(shù)學(xué)專業(yè)）培訓(xùn)班，使我受益匪淺，在培訓(xùn)中，我見識了一種全新的教學(xué)理念。李老師的“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”“化抽象為自然”“餓了再吃”等教學(xué)理念很值得我學(xué)習(xí)。作為剛參加工作的年輕教師，我應(yīng)該在以后的教學(xué)中，慢慢向這種教學(xué)理念靠攏，使學(xué)生在不知不覺中掌握較為抽象的知識。下面這個教案是根據(jù)李老師的教學(xué)理念為“三本”學(xué)生寫的，不知是否能達要求，請李老師指教。用矩陣的初等變換求逆矩陣一、問題提出在前面我們以學(xué)習(xí)了用公式求逆矩陣，但當(dāng)矩陣A的階數(shù)較大時，求A*很繁瑣，此方法不實用，因此必須

2、找一種更簡單的方法求逆矩陣，那么如何找到一種簡單的方法呢？（餓了再吃）二、求逆矩陣方法的推導(dǎo)（“潤物細(xì)無聲”“化抽象為自然”）我們已學(xué)習(xí)了矩陣初等變換的性質(zhì)，如1.定理2.4對mxn矩陣A，施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣。2.初等矩陣都是可逆矩陣，其逆矩陣還是初等矩陣。3.定理2.5的推論A可逆的充要條件為A可表為若干初等矩陣之積。即4.推論A可逆，則A可由初等行變換化為單位矩陣。（1）由矩陣初等變換的這些性質(zhì)可知，若A可逆，構(gòu)造分塊矩陣(A︱E)，其中E為與A同階的單位

3、矩陣，那么（2）由（1）式代入（2）式左邊，上式說明分塊矩陣(A︱E)經(jīng)過初等行變換，原來A的位置變換為單位陣E，原來E的位置變換為我們所要求的,即三，講解例題1.求逆矩陣方法的應(yīng)用之一例解：四，知識拓展2．求逆矩陣方法的應(yīng)用之二利用矩陣的初等行變換也可以判斷一個矩陣是否可逆，即分塊矩陣(A︱E)經(jīng)過初等行變換，原來A的位置不能變換為單位陣E，那么A不可逆。例解：而上面分塊矩陣的第一塊第二行全為零，它不可能變換為單位矩陣，所以A不可逆。3．求逆矩陣方法的應(yīng)用之三利用矩陣初等行變換解矩陣方程（“潤物細(xì)無聲”）對一般的矩陣方程求解，我們可以先求，然后求X＝B?，F(xiàn)在

4、我們介紹另外一種方法求矩陣方程。其實在推導(dǎo)求逆矩陣方法的過程就是求解矩陣方程的過程，因為求就是求解矩陣方程的解，而對一般的矩陣方程只要將中的E換成B，然后利用初等行變換，即其中的B即為所求矩陣方程的X。例解：五、小結(jié)1.矩陣初等行變換：求逆、判斷矩陣是否可逆、解矩陣方程2.思考：若XA=B，如何用初等變換法求X?賀建輝2007-11-21