利用導(dǎo)數(shù)研究存在性與任意性

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1、利用導(dǎo)數(shù)研究存在性與任意性1．對，都有令，則；，都有；，都有；．2．，使得，則；，使得；，都有；．3．，，使得；，，使得；，，使得且．21.（12分）已知函數(shù)是的一個(gè)極值點(diǎn).（1）若是的唯一極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）討論的單調(diào)性；（3）若存在正數(shù)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.（1），是極值點(diǎn)，故，是唯一的極值點(diǎn)恒成立或恒成立由恒成立得，又由恒成立得，而不存在最小值，不可能恒成立.11………………4分（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，；，.在遞減，在上遞增.當(dāng)時(shí)，，；，；，.在、上遞增，在上遞減。當(dāng)時(shí)，在、上遞增，在遞減。時(shí)，在上遞增.………………8分（3）當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題

2、意；當(dāng)時(shí)，由（2）知需或，[來源:學(xué)?？?。網(wǎng)Z。X。X。K]當(dāng)時(shí)，，而，故存在使得，這樣時(shí)的值域?yàn)閺亩芍獫M足題意當(dāng)時(shí)，得或者解得；當(dāng)時(shí)，可得滿足題意.的取值范圍或.………………12分例1．已知函數(shù)f(x)＝(ax2－x＋a)ex，g(x)＝blnx－x(b＞0)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；11(2)當(dāng)a＝時(shí)，若對任意x1∈(0,2)，存在x2∈1,2]，使f(x1)＋g(x2)≥0成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．解：(1)由題意得f′(x)＝(x＋1)(ax＋a－1)ex．當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝－(x＋1)ex，當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞

3、增；當(dāng)x∈(－1，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減．當(dāng)a≠0時(shí)，令f′(x)＝0，則x＝－1或x＝－1＋，當(dāng)a＞0時(shí)，因?yàn)椋?＋＞－1，所以f(x)在(－∞，－1)和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)a＜0時(shí)，因?yàn)椋?＋＜－1，所以f(x)在和(－1，＋∞)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)由(1)知當(dāng)a＝時(shí)，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增，因此f(x)在(0,2)上的最小值為f(1)＝0．由題意知，對任意x1∈(0,2)，存在x2∈1,2]，使g(x2)≥－f(x1)成立，因?yàn)椋璮(x1)]max＝0，所以blnx2－x2≥0，即b≥．令h(

4、x)＝，x∈1,2]，11則h′(x)＝＜0，因此h(x)min＝h(2)＝，所以b≥，即實(shí)數(shù)b的取值范圍是．例2．(2017·南昌模擬)已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax2－a＋2(a∈R，a為常數(shù))(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若存在x0∈(0,1]，使得對任意的a∈(－2,0]，不等式mea＋f(x0)＞0(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝－2ax＝，當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)≥0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，由f′(x)≥0且x＞0，解得0＜x≤，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上單

5、調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．(2)由(1)知，當(dāng)a∈(－2,0]時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增，所以x∈(0,1]時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值是f(1)＝2－2a，對任意的a∈(－2,0]，都存在x0∈(0,1]，不等式mea＋f(x0)＞0都成立，等價(jià)于對任意的a∈(－2,0]，不等式mea＋2－2a＞0都成立，不等式mea＋2－2a＞0可化為m＞，11記g(a)＝(a∈(－2,0])，則g′(a)＝＝＞0，所以g(a)的最大值是g(0)＝－2，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－2，＋∞)．例3．(2017·沈陽質(zhì)監(jiān))已知函數(shù)f(x)＝x2－alnx＋b(a∈R)．(1)若曲線y＝f(x

6、)在x＝1處的切線的方程為3x－y－3＝0，求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)若x＝1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；(3)若－2≤a＜0，對任意x1，x2∈(0,2]，不等式

7、f(x1)－f(x2)

8、≤m恒成立，求m的最小值．解：(1)因?yàn)閒(x)＝x2－alnx＋b，所以f′(x)＝x－，因?yàn)榍€y＝f(x)在x＝1處的切線的方程為3x－y－3＝0，所以即解得(2)因?yàn)閤＝1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，所以f′(1)＝1－a＝0，所以a＝1．當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2－lnx＋b，定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝x－＝＝，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x＞1時(shí)，f′(

9、x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，所以a＝1．11(3)因?yàn)椋?≤a＜0,0＜x≤2，所以f′(x)＝x－＞0，故函數(shù)f(x)在(0,2]上單調(diào)遞增，不妨設(shè)0＜x1≤x2≤2，則

10、f(x1)－f(x2)

11、≤m可化為f(x2)＋≤f(x1)＋，設(shè)h(x)＝f(x)＋＝x2－alnx＋b＋，則h(x1)≥h(x2)．所以h(x)為(0,2]上的減函數(shù)，即h′(x)＝x－－≤0在(0,2]上恒成立，等價(jià)于x3－ax－m≤0在(0,2]上恒成立，